线性代数教案第三章 行列式及其应用_第三章行列式教案

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第三章行列式及其应用

本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求

（一）知识

1n阶行列式的定义及性质

现将这些性质作为公理体系来定义n阶行列式.设A[aij]是任意一个n阶方阵,用Ai记其第i行元素为分量的n元向量,即

2,,n, Ai(ai1,ai2,,ain),i1,并称其为行向量.有序向量组{A1,,An}所定义的实值函数d(A1,,An)被称为n阶行列式函数,如果它满足下列公理: 公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t,有

,n.d(,tAk,)td(,Ak,),k1,公理2 对每行都具加性.即对任意n元向量B,有

d(,AkB,)d(,Ak,)d(,Ak1,B,Ak1,), k1,,n.公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若AkAk1(k1,,n1),则d(A1,,An)0.公理4 对于R中常用基{e1,,en},有 nd(e1,,en)1.当{A1,,An}取定,则称d(A1,,An)为一个n阶行列式.有时也简称为n阶行列式函数为n阶行列式.n行列式常被记为detA,|A|,或

a11a21an1a12a22a1na2n.an2ann公理4意味着,对于n阶单位方阵E,有 detE|E|1.前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若t1,,tp是任意p个实数,B1,,Bp是任意p个n元向量(p是任意正整数),有

d(tkBk, A2,,An)tkd(Bk,A2,,An)

k1k1pp定理3.1.1满足公理1,2,3的行列式函数d(A1,,An)具有以下性质:(1)若行列式某一行为零,则此行列式为零.(2)对调行列式任意两行,则行列式变号.(3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.(4)若向量组{A1,,An}是相关的,则行列式d(A1,,An)0.(5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.行列式的计算

例3.2.2设A是形如下式的n阶对角方阵

a11000a22000(a0,ij)

ijann则detAa11a22ann.由该例可得到: 例3.2.3设A是形如下式的n阶上三角方阵

a1100a12a220a1na2n(主对角线下方各元素为零)ann则detAa11a22ann.定理3.2.1 设d是满足行列式公理1～4的n阶行列式函数,f是满足行列式公理1～3的n阶行列式函数,则对任意选定的n元向量A1,,An及R中常用基{e1,,en},有

nf(A1,,An)d(A1,,An)f(e1,,en).(3.2.2)若f还满足行列式公理4,则有

f(A1,,An)d(A1,,An).1定理3.2.2 若A是一个非奇异方阵(即A存在),则detA0,且

detA11 detA定理3.2.3 设A1,,An是n个n元向量.该向量独立的充要条件是d(A1,,An)0.本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着

AOdetdetAdetB OB本定理可以推广到一般情形:若C是一个具有对角子块A1,,An的分块对角方阵,即

A1COA2O, An则detC(detA1)(detA2)(detAn).行列式的展开公式

定义3.3.1给定n阶方阵A[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原来位置构成的n1阶方阵,被称为元素akj的余子阵,记为Akj.而称detAkj为akj的余子式.定理3.3.1对任意n阶方阵A[akj](n≥2),有

(1)kjdetAkj,k1,,n.(3.3.2)detAkj从而有

n,n.(3.3.3)detAakj(1)kjdetAkj,k1,j1此式被称为行列式按第k行的展开式.定义3.3.2对行列式detA而言,称(1)kjdetAkj为元素akj的代数余子式,记为cofakj.下面将利用数学归纳法来证明n阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.定理3.3.2设n1阶行列式函数存在.对任意n阶方阵A[akj],定义函数

f(A1,,An)(1)k1ak1detAk1,(3.3.4)k1n则它是n阶行列式函数

定理3.3.3对任意n阶方阵A[akj],有

(1)j1nnij ikdetA,(3.3.6)akjdetAij 0, ik ikdetA,ij(3.3.7)(1)adetAjkji ikj1 0,定理3.3.4对任意n阶方阵A[akj],有

detAdetAT.4 伴随阵及方阵的逆

定义3.4.1给定n阶方阵A[aij],称n阶方阵[cofaij]为A的伴随阵,记为

TA*.据此定义知: A的伴随阵A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代数余子式

cofaij(1)ijdetAij.定理3.4.1对任意n阶方阵A[aij](n≥2),有

AA*(detA)E.1又:若detA0,则A存在,且有

A11A*.detA1定理3.4.2对任意n阶方阵A而言,A存在得充分必要条件是detA0.当detA0,就有

A111A*,detA1 detAdetA5

矩 阵 的 秩

定义3.5.1在一个mn矩阵A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k阶行列式,被称为矩阵A的k阶子式.A中不为零的子式.A中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A的秩,记为R(A).若A没有不为零的子式(等价的说法是: A是零矩阵),则认为其秩为零.推论 若A有一个r阶子式不为零,而所有r1阶子式全为零,则R(A)r.定理3.5.1初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A～B(即A与B等价),则R(A)R(B).若A是n阶方阵且R(A)n,则称A为满秩方阵.显然,下列命题等价:(1)A是满秩方阵.(2)detA0.(3)A是可逆的(非奇异的).克莱姆法则

定理3.6.1对于含有n个未知量x1,,xn的n个线性代数方程构成的方程组

a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2(3.6.1)    an1x1an2x2annxnbn,(或写为aj1nij,n.)xjbi,i1,如果其系数方阵A[aij]是非奇异的(即detA0),则它是唯一解.这里cofakj是方阵A的元素akj的代数余子式.式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为

xjdetCjdetA,j1,,n.(3.6.3)这里方阵Cj是A中第j列换为列阵b所成的n阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等.二本章重点及难点

1、理解用公理定义行列式概念中的数学原理

2、利用公理4进行行列式计算

3、方阵的行列式及方阵可逆之间的关系

4、矩阵的秩

5、利用伴随阵求解方阵的逆

6、克莱母法则

三：本章教学内容的深化和拓宽

１． ２． 若第四个公理改变,行列式的值如何改变 当克莱母法则法则的相关条件改变又如何? 四：思考题和习题

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教学方式（手段）

本章主要采用讲授新课的方式。

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