立体几何第二讲_立体几何二轮
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第2讲 空间中的平行与垂直
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中错误的命题序号是________． ①若m∥α，n∥α，则m∥n
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
2．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；
③若a∥b，b∥M，则a∥M；
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.其中正确命题的个数为________．
3．α、β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m∥β”的______________条件．
4．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
5．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中，正确的是________．(填上所有正确命题的序号)
①EH∥FG；②四边形EFGH是矩形；
③Ω是棱柱；④Ω是棱台．
6．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.正确命题的序号是________．
7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及平面β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
8．(2010·上海)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．
9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂
直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：
①PA∥平面MOB；
②MO∥平面PAC；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是______(填上所有正确命题的序号)．
10．已知m、n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；
④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．
11．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．
①若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；
④若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
二、解答题
13．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别
为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝.2(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.14．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且
AB
＝，AD
＝EF＝1.(1)求证：AF⊥平面CBF；
(2)设FC的中点为M，求证：
OM∥平面DAF.15．如图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图
(2))．
(1)求证：AP∥平面EFG；
(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．
答案
1．①②③ 2.23．既不充分又不必要 4.6
5．①②③ 6.①④
87．①③④⇒②(或②③④⇒①)8.319．②④10．②④11．②12.，1 2
13．证明(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.又PA＝PD，2π∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.2又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.14．证明(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥
BF
.∴AF⊥平面CBF.(2)设DF的中点为N，连结MN、AN，11则MN綊.又AOCD，则MN綊AO.2
2∴四边形MNAO为平行四边形．
∴OM∥AN.又∵AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.15．(1)证明 ∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理：EG∥平面PAB.∴平面EFG∥平面PAB.又∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.(2)解 取PB的中点Q，连结AQ，QD，则PC⊥平面ADQ.证明如下：
连结DE，EQ，∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC.∴AD⊥PC.在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点．
∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.
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