第十一章小结与复习导学案_第十一章小结与复习
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第十一章 三角形 小结与复习导学案
一、【学习目标】
（1）了解三角形的基本元素与主要线段（角平分线、中线、高线）；能区分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形及等边三角形；会用直尺和量角器画出三角形的角平分线、中线、高线.了解三角形的稳定性在生产实践中的应用.（2）掌握三角形三边之间的关系.（3）掌握三角形的外角性质及外角和、多边形的内角和与外角和公式并会运用它们解决有关的计算问题.（4）能进一步理解某些正多边形能够铺满地面的道理.重点难点
（1）重点：三角形内角和、外角和及三边关系等性质的运用.（2）难点：三角形外角性质的推导以及多边形内角和公式的推导.二、考点分析
1.三角形及其边、角、顶点
由不在同一直线上的三条线段顺次相接所组成的图形叫三角形.记作△ABC.2.三角形中的主要线段：中线、高线和角平分线
⑴在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
1BDADBC2AD是△ABC的中线←→
⑵从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。
AD是△ABC的高←→∠ADB=∠ADC=90°←→AD⊥BC于D ⑶三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
AD是△ABC的角平分线←→∠BAD=∠DAC= 3.三角形分类：
1BAC三角形按边来分类：2
⑴不等边三角形—任意两条边都不相等 ⑵等腰三角形—有两条边相等
（3）等边三角形—任意两条边都相等 三角形按角来分类：
——有3个锐角锐角三角形——有1个直角直角三角形钝角三角形——有1个钝角 4.与三角形的角、边有关的性质 三角形的内角、外角：（1）三角形的内角和是180°.（2）三角形的外角和是360°.（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（4）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.图8.2.6 三角形的三边关系：
三角形的任何两边的和大于第三边。
设△ABC的三条边长分别为a，b，c，则有
abcacbcba
设△ABC的两条边长分别为a，b，则第三条边长x的取值范围是abxab 三角形的稳定性在生产实践中的应用。5.多边形的内角和与外角和 多边形的外角和是360度.多边形的内角和等于（n－2）×180°.（n是大于2的正整数）既要会由边数求内角和，又要会由内角和求边数.6.用多边形拼地板
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形
三、典型例题
例1.画出下图中钝角三角形和直角三角形的三条高线
分析：画钝角三角形和直角三角形的高是个难点，注意过哪个顶点向哪条边画垂线.解：如图，钝角三角形ABC的三条边上的高线分别为AR，CP和BQ.直角三角形DEF的三条边EF、FD和DE边上的高线分别为DF，EF和FM.例2.判断满足下列条件的三角形的形状
（1）△ABC中，∠A是∠B的两倍，∠C比∠A+∠B还大30°（2）△ABC的三个顶点处的三个不同外角之比为3:5:4 分析：这种题型是方程思想的运用，但也可用简便方法来解.解：（1）设∠B为x度，则∠A为（2x）度，∠C为[（x+2x）+30]度
由三角形内角和为180°，得 2x+x+（x+2x+30）=180 6x=150 x=25 2x=50 x+2x+30=105 则三角形的三个内角分别为25°，50°，105°
三角形有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形.（2）设三角形的三个外角为（3x）°，（5x）°和（4x）° 由三角形的外角和为360°，得到 3x+5x+4x=360 x=30 三角形的三个外角分别为90°，150°，120° 则三角形的三个内角分别为90°，30°，60° 即这个三角形为直角三角形.例3.如图 D是△ABC内一点，∠BDA>∠C吗？请说明理由.CDAB
分析：结合三角形中的不等关系作辅助线，构造“三角形的一个外角大于任何一个和它不相信邻的内角”这个基本图形.解法一：连结CD并将其延长与AB交于E 由∠ADE是△ACD的外角，得∠ADE＞∠ACD 由∠EDB是△CDB的外角，得∠EDB＞∠BCD 则∠ADE+∠EDB＞∠ACD+∠BCD 即∠ADB＞∠ACB 所以∠ADB>∠C 解法二：延长AD交BC于E，∠ADB是△DBE的外角，则∠ADB>∠AEB 又∠AEB是△ACE的外角，则∠AEB>∠C 则∠ADB>∠AEB>∠C 即有∠ADB>∠C
例4.两根木棒分别为5cm，7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么由这三根木棒组成的三角形的周长的取值情况有哪几种？
分析：利用三角形三边关系，结合第三边长为偶数的条件就可求出第三边的长.解：设第三根木棒的长为xcm，则2
例5.草原上的4口油井，位于四边形的4个顶点，现要建立一个维修站，试问维修站H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小，请说明理由.分析：本题可将问题转化为三角形问题来解决，借助三角形的三边关系说明理由.解：维修站H应建在AC与BD的交点处，才能使它到4口油井的距离之和最小.在草原上任选一点O，在三角形AOC中，AO+CO>AC 在三角形BOD中，DO+BO>BD 则有 AO+CO+BO+DO>AC+BD 即AH+CH+BH+DH
例6.已知等腰三角形一腰中线分该三角形周长为15厘米和18厘米两部分，求底边及腰长.分析：题目没有图形，也没有明确哪个三角形的周长，因此画图后需要分情况解答.解: 设等腰三角形的腰长为（2x）cm，底边长为ycm，依题意: 2xx152xx18xy18 或xy15 x5x6y13解得 或y9
则这个三角形的腰长为10厘米，底为13厘米； 或者这个三角形的腰长为12厘米，底为9厘米.例7.一个多边形除了一个内角外，其余内角和为1680度，求这个多边形的边数.分析：题目中暗含着一个不等关系：
多边形的内角和大于1680°，并且小于1680°+180°.据此即可得到一个不等式组.解：设这个多边形的边数为n.依题意： 1680
例8.如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACE的平分线交于D，求∠D的度数.解：由BD是△ABC的角平分线，得
121ABC2
由CD是∠ACE的平分线，得∠4是△DBC的外角，得∠D=∠4－∠2 ∠ACE是△ABC的外角，得∠A=∠ACE－∠ABC=2（∠4－∠2），又∠A=50° 则∠4－∠2=25° 即∠D=25°.例9.用两种多边形铺满地面.341ACE2
分析：如果用两种不同边数的正多边形铺满地面，同样，必须在一个顶点处，正多边形的内角之和为360°.解：（1）正三角形与正方形.设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正方形的角.那么，这些角的和应满足方程：m·60°＋n·90°＝360°，即2m＋3n＝12.m3这个方程的正整数解为n2，即这样的铺满地面存在.在它的每一个顶点周围有3个正三角形和2个正四边形.（2）正三角形与正六边形.设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正六边形的角.那么，应有 m·60°＋n·120°＝360°，即m＋2n＝6.m4m2n1这个方程的正整数解为，或n2.即这样的铺满地面存在.在它的每一个顶点周围有4个正三角形和1个正六边形；或有2个正三角形和2个正六边形.（3）正三角形与正十二边形.设在一个顶点周围有m个正三角形的角、n个正十二边形的角.那么，这些角的和应满足方程：m·60°＋n·150°＝360°，即2m＋5n＝12.m1这个方程的正整数解为n2，即这样的铺满地面存在.在它的每一个顶点周围有1个正三角形和2个正十二边形.（4）正四边形与正八边形.设在一个顶点周围有m个正四边形的角、n个正八边形的角.那么，这些角的和应满足方程：m·90°＋n·135°＝360°，即2m＋3n＝8.m2这个方程的正整数解为n2，即这样的铺满地面存在.在它的每一个顶点周围有1个正四边形和2个正八边形.四、本讲数学思想方法的学习 1.思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用.如求算角的度数时的整体思想、求多边形的边数时的方程思想、化多边形为三角形的转化思想等.2.从学习习近平面图形开始，要有意识地在说理方面下功夫.另外，掌握一些常见的基本图形，对解决图形问题很有帮助.
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