二倍角正余弦及正切教案111_正余弦二倍角公式教案

2020-02-27 教案模板下载本文

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3.2二倍角的正、余弦和正切

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）能够由和角公式而导出倍角公式。

（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力。

（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力。

2.过程与方法

让学生自己把两角和与差的正弦、余弦、正切公式当中二角取相等二角时得到新的公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识。

二.教学重、难点

重点: 记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明。难点: 在运用当中如何正确恰当运用二倍角公式。

三.教学过程

1、复习引入

前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，现在我们首先复习一下两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ（Sα＋β）cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

（Cα＋β）tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)α、β、α＋β ≠ kπ ＋π/2（Tα＋β）

2、公式推导：

在和角公式Sα＋β、Cα＋β、Tα＋β中，当时，就可以得到二倍角的三角函数公式：

sin2sinsincossincos2sincoscos2coscossin22222cos112sin2tan1tan2

tan2tantantan1tan2

3、二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin22sincos S2

2222cos2coscossin2cos112sintan22tan1tan

2C2

 T2

公式S 2α、C2α、T2α统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。

注意：

(1)在一般情况下，sin2α≠2sinα，例如：sinπ/3 ≠2sinπ/6 ＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立,当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立。

同样在一般情况下cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα。

(2)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角，没有限制，但公式T2α只有当α≠ kπ＋π/2且α≠π/4 ＋kπ/2(k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝π/2 ＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝π/4 ＋kπ/2，k∈Z时tan2α的值不存在).(3)二倍角是相对的，任何角都是它的半角的二倍，如将4α作为 2α 的2倍，α作为α/2的2倍，α/2作为α/4的2倍，3α作为 3α/2 的2倍，α＋β是(α＋β)/2的二倍等。

下面我们通过一些具体的实例，体会这些公式的运用。

4、公式运用

例1.已知tanα =解：

tan22tan1tan212，求tan2α的值。

35例2.设是第二象限角，已知cos,，求sin2，cos2，tan2的值。

解：

∵因为是第二象限角，所以sin0,tan0 又 cos315235

故 sin1cos245

可得sin2 = 2sincos =2243 55254

73 cos2 = 2cos2121

255sin2cos2242425 77252 tan2 = 练习，已知sin2x 解：

2513,2x(2,)，求sin4x，cos4 x，tan4 x的值。

因为2x,所以cos2x0513, 又 sin2x

2故 cos2x1sin

由公式：

52x11321213

Sin4x = 2sin2 x cos2 x = 212012 -131316925 cos4x = 12sin21195 2x1213169120119120 /169169119 tan4 x = sin4xcos4x下面我们再看一下二倍角的三角函数在几何中的应用。例

3、在ABC中，已知ABAC2BC,求角A的正弦值。

解：

作ADBC于D，设BAD,那么A2,因为BD12BC14AB,所以 sinBDAB14

2因为02，所以0于是 cos1sin2，所以 cos0

2114154

故 sinAsin22sincos214154158

四、学习小结

（1）公式的特点要熟记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如

4是

8的2倍角。

（2）二倍角公式是两角和公式的特例，会正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式，进行简单的三角函数的化简、求值以及恒等式证明。

五、思考：（利用倍角公式）