数学分析教案_数学分析优秀教案

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数学分析教案

第7章 实数的完备性

§7.1 实数完备性的基本定理

数学分析是建立在极限理论这个基础上，而极限理论的基础是实数，实数理论就成为基础的基础．有关实数理论的知识，参见华东师大编写的《数学分析》附录2．在这里主要介绍实数的完备性即连续性，有关实数连续性的基本定理有7个． 戴德金分划 任一有理分划必确定一个实数．参见华东师大编写的《数学分析》附录2． 确界原理 有界数集必有确界．本书作为公理． 3 单调有界定理 有界的单调数列必有极限． 此定理可分为两个部分，即

(1)数列an单调上升且有上界，则an必有极限；(2)数列an单调下降且有下界，则an必有极限．

证：设an单调上升有上界，由确界存在定理知，an有上确界．

an} = a，于是n, ana，且0, N0, “aNa”，设sup{ima na ，从而ana，所以

ln于是nN时，aaNana

同理可证(2)． 4 区间套定理

an,bnan1,bn1；

定义1 若闭区间列an,bn满足(1)n，lim(ban)0(2)nn，则称这列闭区间列an,bn为闭区间套，简称区间套．

在区间套an,bn中，端点满足a1a2anbnb2b1．即由左端点构成的数列an单调上升有上界；由右端点构成的数列bn单调下降有下界． “n, an,bn”定理1(区间套定理)若闭区间列an,bn为区间套，则|, ．

bn收敛． 证：(存在性)因为an,bn为闭区间套，所以由单调有界性定理知an、由nlim(bnan)0知两极限相等．设nlimanlimbnn，则 n, an,bn．

“n, an,bn”(唯一性)若,，则n, ||bnan．

而nlim(bnan)0，所以．综上可知，结论成立．

注意：

a,b(1)是闭区间套nn确定的点，则

0, N0, “nNan,bnU(,)”；

10,(2)闭区间套定理中，若把闭区间换为开区间，则定理不成立．例如n，就找不到适合定理结论的；

(3)在闭区间套定理的应用中，一般要构造一个满足题设条件与结论的闭区间套．方法见下面柯西定理充分性的证明． 柯西收敛准则

定理2(数列的柯西收敛准则)数列an收敛

0,N0, “m,nN |aman|”

证：设数列an收敛于A，即nlimanA，|aA|m2”0, N0,“ mn, N|aA|n2，于是

|+ |anA|． 因而m, nN时，|aman| |amA()设数列an满足 0, N0, “m, nN |aman|”． N0,“ nNan |aN|”，于是

0,即在区间[aN, aN]中含有an除去有限项外的所有项．

据此，取此区间为1,1． 111N1, “aN1,aN122中含有an除去有限项外的所有项”2，则，记

111N2,“aN22,aN2222中含有an除去有限项外的所有项”22，则再取． 11a,a1,12,2NN222222记区间．则2,2含有an除去有限项外的所有项，且2,21,1, 2211212．

继之而得闭区间列n,n，满足

n,nn1,n1；

(1)n，(2)nlim(nn)0；

n,n中含有an除去有限项外的所有项．

(3)n，“n, n,n”由(1)、(2)知n,n为闭区间套，所以，|, ，N0,“ nNnn,U(”,)且

0,．由(3)知U(,)内含有an除去有限项外的所有项．于是n6 聚点原理

定义2 设S是直线上的点集，是一定点．如果0,U(,)S，有无穷多个点，则称为点集S的聚点．

0等价定义：为点集S的聚点0,U(,)S． liman，故an收敛．

注：S 的聚点可能在S中，也可能不在S中．

1n1S1Sn有两个聚点11,21；n只有一个聚点0；例如点集点集

点集 S =(a，b)的所有聚点构成的集合是[a，b]； 点集 S ={1, 2, 3,„ } 没有聚点．

定理3(维尔斯特拉斯聚点原理)有界无限点集必有聚点．

证：设S为有界无限点集，则M0, xS, xM，取a1,b1M,M,则Sa1,b1，均分a1,b1为两个子区间，则至少有一个子区间含S的无穷多个点，记此子区间为a2,b2，且继之而得一列闭区间an,bn，满足

b2a2b1a1M2．

均分a2,b2为两个子区间，则至少有一个子区间含S的无穷多个点，记此子区间为a3,b3．

an,bnan1,bn1；

(1)n，(2)lim(bnan)0n；

an,bn中含有S的无穷多个点．(3)n，“n, an,bn”由(1)、(2)知，an,bn为闭区间套，所以|, , “,nNanbn,U(”,．)且

0,N0由(3)知U(,)内含有S的无穷多个点，即为S的聚点，故定理成立． 推论(致密性定理)有界数列必有收敛的子列．

证：设数列xn有界，如果xn中有无限项相等，则其有一子列的每一项都相等，此时结论成立．

若xn中不含无限多相等的项，则由聚点原理知xn至少有一个聚点，记作x0，由聚

0点的等价定义得0, U(x0,)xn． xx0； 取11，则xn1U(x0,1)xn，且n112，则xn2U(x0,2)xn，且xn2x0； 取1kk，则xnkU(x0,k)xn，且xnkx0； 取

1xxxn0kk，继之得xn的一子列n，满足 k2k且x收敛，故致密性定理成立． nk7 有限覆盖定理

“x”定义3 设S是直线上的点集，H为一开区间集，如果xS, H, ，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S．

若H中的开区间是无限个，则称H为S的一个无限开覆盖； 若H中的开区间是有限个，则称H为S的一个有限开覆盖．

11H,:n1,2,3,n2n，其覆盖了开区间(0，1)． 例如实因：x(0,1)，n, “n111n2”xn，所以H覆盖了开区间(0，x，即 n21)，且是无限开覆盖．

又如f(x)在(a, b)内连续，则x0(a,b), 0, 0, “xx0f(x)f(x0)”．

开区间集Hx0,x0:x0(a,b)是(a, b)的一个无限开覆盖．

定理4(波雷尔有限覆盖定理)H为闭区间[a, b]的一个开覆盖，则在H中存在有限开覆盖覆盖[a, b] ．

证：(反证法)假设在H中不存在有限开覆盖覆盖[a, b]．均分[a, b]为两个子区间，则至少有一个子区间在H中不存在有限开覆盖，记此区间为a1,b1，再均分a1,b1为两个子区间，亦至少有一个子区间在H中不存在有限开覆盖，记此区间为a2,b2，继之得一列闭区间列an,bn,满足

an,bnan1,bn1；(1)n，(2)lim(bnan)0n；

an,bn,H中不存在有限开覆盖．(3)n，“n, an,bn”由(1)、(2)知，an,bn为闭区间套，所以，|, ，而H覆盖“,”了[a, b]，所以,H, ．又当 n 充分大时，an,bn(,)，此与(3)矛盾，故定理成立．

注：以上介绍的7个定理是等价的，即从其中任一个定理出发，都可以推出其余的6个定理．一般的证明方法是

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1)．

为了得到思维锻炼，还可以用下面的推理给出证明．

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)． 具体证明可参见朱时老师编写的《数学分析扎记》．

习

题

1n1n有且只有两个聚点11和21． 1 验证数集2 证明：任何有限数集都没有聚点． 3 设an,bn是一个严格开区间套，即满足

．证明：|，“anbn,n1,2,”．

a1a2anbnb2b1，且nlimbn,an04 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定里、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．

11H,:n1,2,n2n． 5 设(1)H能否覆盖(0,1)？(2)能否从H中选出有限个开区间覆盖

11(i)0,,(ii),12100． 证明：闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[a,b]本身． 设xn为单调数列．证明：若xn存在聚点，则必是唯一的，且为xn的确界． 8 试用有限覆盖定理证明聚点定理． 9 试用聚点定理证明柯西收敛准则．

§7.2 闭区间上连续函数性质的证明

本节是用实数关于完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质． 性质1(有界性)如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界． 即f(x)在[a,b]上连续 M > 0，“x[a,b]f(x)M”． 证1：(用有限覆盖定理证)

因为f(x)在[a, b]上连续，所以x0a,b, M00,00，“xU(x0,0)a,bf(x)M0”．

开区间集HU(x0,0):x0[a,b]是闭区间[a, b]的无限开覆盖．由有限覆盖定理知，kH*U(xi,i):xi[a,b],i1,2,,k,“[a,b]U(xi,i)”i1，“xU(xi,i)[a,b]f(x)Mi,i1,2,,k”且 Mi0,．

取MmaxMi1ik，则x[a,b]f(x)M，故f(x)在 [a, b]上有界．

我们不能在无穷多个数中取最大，但可在有限个数中取最大．可以看见，有限覆盖定理在证明中的作用．

证2：(用致密性定理证)假设f(x)在[a, b]上连续，而f(x)在[a, b]上无界，“|f(xn)|n”则

n,xn[a,b]0,，由此而得数列xn[a,b]．

由致密性定理知其有收敛子列

x，且limf(xnkknk)．

limxlimf(xnk)f()limf(xnk)设knk，则[a,b]，由连续性知k，此与k矛盾，故f(x)在[a,b]上有界．

在用致密性定理证明命题中，一般采用反证法．证明中的技巧就是构造反例．

性质2(最值性)如果f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值、最小值．即

x1,x2[a,b], “f(x1)max{f(x)}, f(x2)min{f(x)}”x[a,b]x[a,b]．

证：(用确界定理证)因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有界，于是f(x)在[a,b]上有上确界M．

假设f(x)在[a,b]不存在最大值，即x[a,b],f(x)M，令

g(x)1, x[a,b]Mf(x)．

显然，因为g(x)在[a,b]上连续，于是[a,b]在上有界，故而在[a,b]上有上确界G，11x[a,b], 0g(x)Gx[a,b],f(x)MMf(x)G，即，从而 此与M为f(x)在[a, b]上的上确界矛盾，所以 f(x)在[a, b]上存在最大值． 同理可证f(x)在[a, b]上存在最小值．

最值一定在我们讨论的范围内，确界却没有这一要求．例如f(x)x,x(0,1)有确界而无最值．定理的证明就是紧扣这一性质而得．

性质3(零点存在性)如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，“f(x0)0”则x0(a,b),．

注意：此性质只给出存在性，没有唯一性．

ab,f(a)0f(b)02 证：(用区间套定理证)不妨设，取如果f()0，则定理得证，如果f()0，则必与f(a)、f(b)之一异号，记异号的区间为a1,b1．

a1b12，如果f()0，则定理得证，如果f()0，则必与fa1,f(b1)之再取一异号，记异号的区间为a2,b2． 继之得一列区间an,bn，满足  an,bnan1,bn1；(1)n，(2)；

f(an)0,f(bn)0．(3)n，nlim(bnan)0由(1)、(2)知，“n, a,b”a,b为闭区间套，所以|, ，nnnnnnn且n，由

f(an)0知f()0，由f(bn)0知f()0，所以f()0．定理得证．

a), f(b)之性质4(介值性)如果 f(x)在[a, b]上连续，且 f(a)≠ f(b)，则 介于f(limf(a)f()limf(b)f(x0)”间，x0(a,b), “，即介于 f(a)、f(b)之间的任一数μ在f下都有原象．介值性定理指出，函数 f(x)的值域为[ m, M ]，其中mmin{f(x)}x[a,b]，Mmax{f(x)}x[a,b]．

用零点存在定理，证明如下．

证：不妨设faf(b)，作函数g(x)f(x)，g(x0)0”则g(x)在[a, b]上连续，且g(a)g(b)0，由零点存在定理知x0(a,b),“，即f(x0)．故结论成立．

用确界定理证明如下．

证：不妨设f(a)f(b)，作函数g(x)f(x)，g(x)则在[a, b]上连续，且g(a)0，g(b)0，记Ex:g(x)0,x[a,b]，则E，实因bE． 由确界定理知E有下确界，记x0infE．因g(a)0，g(b)0，所以由保号性知x0a且x0b，即x0(a,b)．今证g(x0)0．假设g(x0)0，不妨设g(x0)0，则由保号性知0, “g(x0)0”，于是x0E，此与x0infE矛盾，故g(x0)0，即f(x0)．

性质5(一致连续性)若f(x)在[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上一致连续． 证：(用有限覆盖定理证)因为f(x)在[a, b]上连续，“xU(x,x)f(x)f(x)”2． ∴x[a,b], 0, x0，HUx,x2设

:x[a,b],则H覆盖了[a, b]．由有限覆盖

:x[a,b], k1,2,,nk覆盖了[a, b]．

H*Uxk,k2定理，存在H的一个有限子集取minkkx,x[a,b], xxk, “x,xUxk,21kn2，于是 ”，f(x)f(xk), f(x)f(xk)22，从而 xxk,xxk，故而

由此得xxf(x)f(x)，所以f(x)在 [a, b]上一致连续．

用致密性定理证明如下．

证：假设f(x)在[a,b]上非一致连续，则

00,0,x,x,“xx，而f(x)f(x)0”，11“xxnn、xn，n，则xnn，取)f(xn)0”，因xn[a,b]，所以由致密性定理 而f(xnkxn,“limxnkx0[a,b]”xnk．

1kx0xnkxnkxnkx00xnlimxx0nk而，于是knk． 又由f(x)在xx0点连续得 kxnkxn1xxf(x)f(x)n0n0kk2nk20,k0,“”1xxk)f(x0)f(xnnk02nk2，1kxnkf(xnk)f(xnk)xn)f(xn)0矛盾，nk从而．此与f(xn故f(x)在[a,b]上一致连续．

习 题 设f为R上连续的周期函数．证明f在R上有最大值与最小值． 2 设I为有限区间．证明若f在I上一致连续，则f在I上有界．举例说明此结论当I为无限区间时不一定成立． 证明 f(x)sinxx在(0,)上一致连续．

总练习题7 证明xn为有界数列xn的任一子列都存在其收敛的子列．

limf(x)lim0xb2 设f在(a,b)内连续，且xa．证明f在(a,b)内有最大值或最小值．

“limf(xn)A”3 设f在[a,b]上连续，又xn[a,b]，n，证明x0[a,b]，“f(x0)A”． 设函数f和g都在区间I上一致连续．

(1)若I为有限区间，证明fg在I上一致连续；

(2)若I为无限区间，举例说明fg在I上不一定一致连续．

limf(xn)5 设f定义在(a,b)上．证明若对(a,b)内任一收敛数列xn，极限n都存在，则f在(a,b)上一致连续．

“lim[f(x)bxc]0”6 设函数f在[a,)上连续，且有斜渐近线，即b,cR，x． 证明f在[a,)上一致连续．

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