华东师范大学数学分析电子教案12_数学分析华师大版pdf

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110；

110)作10等分,分点为：n.n11,n.n12,,n.n19，则存在0,1,2,,9中的一个数n2第一章 实数集与函数

§2 数集.确界原理

《数学分析》电子教案

（1）对任何xS，有xn.n1n2（2）存在a2S，使a2n.n1n2.1102；

如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何k1,2,存在0,1,2,,9中的一个数nk，使得：（1）对任何xS，有xn.n1n2nk（2）存在akS，使akn.n1n2nk.将以上步骤无限进行下去，得到实数n.n1n2nk，以下证明supS，即证：（ⅰ）对一切xS，有x；（ⅱ）对任何,存在x0S使得x0S.110k；

先证(ⅰ):(反证)假设存在xS,使x,则可找到非负整数k,使xkk,而xxk且kn.n1n2nk110k,故xn.n1n2nk110k与(1)矛盾,故对一切xS，有x.再证(ⅱ): 由知存在非负整数k,使kk,而kn.n1n2nk,k,故n.n1n2nk,由(2)便知存在x0S使x0n.n1n2nk

确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视.例4 设数集S有上界，证明：supSSmaxS.分析：由确界原理，supS意义，按确界定义证明。

证（必要性）因为supS，所以对一切xS有x，又S，故maxS.（充分性）设maxS，则：对一切xS，有x；对任何，只需取x0S，则x0，故supS。

例5 设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切xA和yB有xy.证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且supAinfB.分析：首先，证明supA,infB.有意义，用确界原理.其次，证明supAinfB.证

由假设，数集Ｂ中任一数y都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数x都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.对任何yB,y是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,supA是数集Ａ的最小上界,故有supAy.而此式又表明supA是数集Ｂ的一个下界,故由下确界定义证得supAinfB.