高中数学必修4教案 平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算_必修4平面向量教案

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平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程： 复习引入：

aa1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ aa（1）|λ|=|λ|||；

aaaaa（2）λ>0时λ与方向相同；λ

2．运算定律

aaaaaaab结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b=λ

二、讲解新课：

1．思考：（1）给定平面内两个向量e1，e2，请你作出向量3e1+2e2，e1-2e2，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示？

b

a.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的aa任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1e1+λ2e2.2．探究：

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

a(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，e1，e2唯一确定的数量

3．讲解范例：

例1 已知向量e1，e

2求作向量2.5e1+3e2 例2 如图，OA、OB 不共线,且

APt AB(tR), 用 OA，OB 表示 OP.本题实质是 已知O、A、B三点不共线，P B O

A 若点 P 在直线 AB 上，则 OPmOAnOB, 且 mn1.4．练习1：

1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有(D)A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a ＝λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)2.已知向量a ＝ e1-2e2，b ＝2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c ＝6e1-2e2的关系（Ｂ）

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定

３.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a ＝λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2不共线．

(填共线或不共线).aabOAaOBb5．向量的夹角:已知两个非零向量、，作，则∠AOB＝，叫向量、b的夹角，当=0°，a、b同向，当=180°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，记作a⊥b。

6．平面向量的坐标表示

（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。

（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基

y底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、，使得axiyj…………○1

我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)…………○2

其中x的坐标，叫做a在x轴上y叫做a在y轴上的坐标，○

2式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定.设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.7．讲解范例：

例2．教材P96面的例2。

8．课堂练习：P100面第3题。

三、小结：（1）平面向量基本定理；

（2）平面向量的坐标的概念；

四、课后作业：《习案》作业二十一

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