解析几何9.6 椭圆(教案)_解析几何第四版教案

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响水二中高三数学（理）一轮复习

教案 第九编 解析几何 主备人 张灵芝 总第48期

§9.6 椭圆

基础自测

1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于.答案 2.若椭圆答案 32x2

y22m=1的离心率为12，则实数m=.32或83

x23.已知△ABC的顶点B、C在椭圆

3+y=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在2BC边上，则△ABC的周长是.答案 44.已知方程

x23m1+y22m=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.xm22答案(-∞,-1)∪1,325.(2008²天津文)设椭圆+yn22=1(m＞0,n＞0)的右焦点与抛物线y=8x的焦点相同，离心率为

212，则此椭圆的方程为.答案 x216y212=1 例题精讲

例1 一动圆与已知圆O1：(x+3）+y=1外切，与圆O2：(x-3）+y=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解 两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1； O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.∴|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.222

222

2∴b=a-c=25-9=16，故动圆圆心的轨迹方程为

x225y216=1.例2．（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0），求椭圆的方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（301，1）、P2（-，-），632求椭圆的方程.解（1）若焦点在x轴上，设方程为∵椭圆过P（3，0），∴3a22xa22yb22=1(a＞b＞0).x220b22=1.又2a=3³2b,∴a=3,b=1,方程为xb3b22229y1.若焦点在y轴上，设方程为∵椭圆过点P（3，0），∴x2ya22=1(a＞b＞0).y20a22=1，又2a=3³2b,∴a=9,b=3.∴方程为

y281x29=1.∴所求椭圆的方程为92y21或

81x29=1.（2）设椭圆方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0且m≠n).∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则 1m,9①、②两式联立，解得n1.36mn1,3m2n1, ①

②

∴所求椭圆方程为

x29y231.例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.（1）求椭圆离心率的范围；

（2）求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.（1）解 设椭圆方程为xa22yb22=1（a＞b＞0）, |PF1|=m,|PF2|=n.2

22在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c=m+n-2mncos60°.∵m+n=2a，∴m+n=（m+n）-2mn=4a-2mn，∴4c=4a-3mn.即3mn=4a-4c.又mnmn≤22222

2=a（当且仅当m=n时取等号）,∴4a-4c≤3a，∴1,122222

ca22≥

14，即e≥

12.∴e的取值范围是.431233（2）证明 由（1）知mn=b,∴SPF1F2=2

mnsin60°=b,2即△PF1F2的面积只与短轴长有关.例4 如图所示，已知A、B、C是椭圆E：

xa22yb22=1（a＞b＞0)上的三点，其中点

302 A的坐标为（23，0）,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.（1）求点C的坐标及椭圆E的方程；

（2）若椭圆E上存在两点P、Q，使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ与AB是否共线，并给出证明.解（1）∵|BC|=2|AC|，且BC经过O（0，0）,∴|OC|=|AC|.又A（2∴C（33，0），∠ACB=90°, =1,∴b=4,2，3）,∵a=2x23，将a=

23及C点坐标代入椭圆方程得

3123b2∴椭圆E的方程为:12y24=1.（2）对于椭圆上两点P、Q，∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称，设直线PC的斜率为k，则直线CQ的斜率为-k，∴直线PC的方程为y-即y=k(x-)+.)+2

233=k(x-

3), 3

3① , ②

k(1-k)x+9k-18k-3=0,2直线CQ的方程为y=-k(x-将①代入∵C(∴xP²x233123y24=1,得(1+3k)x+6

3③

3,3)在椭圆上，∴x=23是方程③的一个根.9k2=9k18k32，∴xP=

18k32，13k23(13k)yQyPxQxPk(xQxP)23kxQxP同理可得,xQ=9k18k32,∴kPQ=

=

13.3(13k)∵C（3，3），∴B（-3，-

3），又A（2

3，0），∴kAB=

333=

13，∴kAB=kPQ，∴向量PQ与向量AB共线.巩固练习

1.已知椭圆x216y212=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|=1，则|MF1|的长等于.答案 6

303 2.根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（2）经过两点A（0，2）和B12xa435和

235，过P作长,223yb.22解（1）设椭圆的标准方程是=1或

ya22xb22=1，则由题意知2a=|PF1|+|PF2|=2在方程在方程xaya22225，∴a=

b25.yb2222=1中令x=±c得|y|==1中令y=±c得|x|=b2ab2 xba依题意并结合图形知即椭圆的标准方程为ax2=2352.∴b==1或

y

21032.3x253y10510=1.22（2）设经过两点A（0，2），B4n1m111m3n1n4412,3的椭圆标准方程为mx+ny=1，代入A、B得，∴所求椭圆方程为x2y241.3.（2008²江苏，12）在平面直角坐标系中，椭圆a2xa22yb221(a＞b＞0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点,0c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e=.答案 22）且斜率为k的直线l与椭圆

x24.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，P和Q.（1）求k的取值范围；

22+y=1有两个不同的交点

2（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.304 解（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+整理得12k22,代入椭圆方程得

2x22+(kx+

2)=1.22x+22kx+1=0

12

2① =4k-2＞0，222直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k-4222222k解得k＜-或k＞.即k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），由方程①得x1+x2=-42k

2②

12k又y1+y2=k(x1+x2)+2而A（2

③

(y1+y2)，2，0），B（0，1），AB=（-222，1）.所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-222将②③代入上式，解得k=.由（1）知k＜-或k＞

22,故没有符合题意的常数k.回顾总结 知识 方法 思想

课后作业

一、填空题

1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是x234，则此椭圆的标准方程是.答案

16y27=1或x27y216=1 2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为答案 x23，则这个椭圆的方程为.y21291或y212x291

23.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，5个椭圆的方程为.答案 4.椭圆 x2），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为

12，则这x2252y2751

y1231的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|

305 是|PF2|的 倍.答案 7 5.已知椭圆xa22y2251(a＞5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为.答案 441

36.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+为.答案 27.经过椭圆OA72y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长

+y=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则2x2²OB等于.13答案-

7188.（2008²全国Ⅰ理，15）在△ABC中，AB=BC，cosB=-，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=.答案 38

二、解答题

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）；（3）经过P（-2，1），Q（，-2）两点.xa2233解（1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22

222

yb22=1(a＞b＞0).∴2a=(54)(54)x2=10,∴a=5.又c=4,∴b=a-c=25-16=9.y2故所求椭圆的方程为259=1.ya22(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），xb22=1(a＞b＞0).306 041,22ab∴011,22ba2a4,∴2b1.故所求椭圆的方程为

y24+x=1.2(3)设椭圆的标准方程为mx+ny=1(m＞0,n＞0,m≠n), 点P（-2,1）,Q(,-2)在椭圆上，代入上述方程得12mn13m4n12233

1m,15解得n1,5∴x215y25=1.10.如图所示，点P是椭圆解 在椭圆y2y25x24=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.,b=2.∴c=

.225x24=1中，a=5ab =1.① 又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=2由余弦定理知：

|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2|=(2c)=4.② ①式两边平方得

|PF1|+|PF2|+2|PF1|²|PF2|=20，③-②得（2+∴SPF1F2=12222222

③），3）|PF1|²|PF2|=16，∴|PF1|²|PF2|=16（2-33|PF1|²|PF2|sin30°=8-

412.11.已知椭圆的中心在原点，离心率为（1）求椭圆的方程；，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率.解（1）设所求椭圆方程是由已知，得c=m，caxa22yb22=1（a＞b＞0）.m.故所求的椭圆方程是：

x22=12，∴a=2m，b=

3y22=1.4m3m（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km），307 当MQ=2QF时，由于F（-m，0），M（0，km），∴（xQ-0，yQ-km）=2（-m-xQ，0-yQ）∴xQ=02m122=-22m32，yQ=km012=

km3.又点Q2m3,km3在椭圆上，4mkm93m2所以94m2=1.解得k=±

26.km12当MQ=-2QF时，xQ=4m4m220(2)(m)12=-2m，yQ==-km.于是+xakm3m22222=1,解得k=0.故直线l的斜率是0，±2226.x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭12.已知椭圆yb=1(a＞b＞0)的离心率为 +

232，直线y=

12圆上，OM =解 由e=将y=123212OA32OB，求椭圆的方程.22

2得a=4b,椭圆可化为: x+4y=4b.2

22x+1代入上式，消去y并整理得： x+2x+2-2b=0.122

①

22∵直线y=x+1与椭圆交于A、B两点，∴Δ=4-4（2-2b）＞0,∴b＞.设A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),则由OM=

12OA +

1x(x132OB,得2y1(y123x2).3y2)∵M在椭圆上，∴∴x1x2+114（x1+3x2)+(y1+2

3y2)=4b,∴x1x2+4y1y2=0.22221x11x2122²4=0，即x1x2+(x1+x2)+2=0 ②

又由①知x1+x2=-2,x1²x2=2-2b,代入②中得b=1,满足b＞∴椭圆方程为 x222

.4+y=1.2

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