解析几何教案(三)（材料）_上海解析几何教案

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第三章 平面与空间直线 3.1 平面的方程

由于确定平面的几何条件不同，所以方程有许多不同的形式。1.由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程

（1）决定平面的几何条件：过点M0与两个不共线矢量a，b平行。（2）导出方程：取标架{O；e1，e2，e3}，设r0=OM0。OM=r。

点M在平面上a，b，M0M共面。因为 a，b不平行，所以存在实数u，v使

M0M=ua+vb，又M0M=OMOM0=rr0，所以rr0=ua+vb，即（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程，其中u，v为参数 r=r0+ua+vb，如果M0(x0,y0,z0)，M(x,y,z)，a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}则平面的坐标式参数xx0x1ux2v方程为yy0y1uy2vzzzuzv012(u,vR)

（3.1-2）

消去参数u，v，得(rr0,a,b)0

（3.1-3）

xx0或yy0y1y2zz0z1z20

（3.1-4）x1x2点位式方程

例：求过点(1,0,1)，方位矢量a{1,1,1}，b{2,0,1}的平面参数方程的点位式方程。

x1x1u2v解：yuz1uvx1y即：

(u,vR)

z110 11210例1 已知不共线三点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，M3(x3,y3,z3)，求通过M1,M2,M3的平面方程。

解：取平面的方位矢量aM1M2{x2x1,y2y1,z2z1}，bM1M3{x3x1,y3y1,z3z1} xx1(x2x1)u(x3x1)v平面的坐标式参数方程为yy1(y2y1)u(y3y1)vzz(zz)u(zz)v12131xx1消去参数u，v得x2x1(u,vR)

yy1y2y1y3y1zz1z2z10

（3.1-8）z3z1x3x1三点式方程

作为特例M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)abc0

xa三点式方程为：ayzab00 0c展开整理：bcxacyabzabc 由于abc0，所以上式可写成xyz（3.1-9）abc（3.1-9）叫平面的截距式方程，a,b,c分别叫做在x,y,z轴上的截距。2 平面的一般式方程

因为空间任一平面都可以用它上面的一点M0(x0,y0,z0)和它的方位矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}确定，因而的方程可写成 xx0x1x2yy0y1y2zz0z1z20展开可写成（3.1-10）

y1AxByCzD0其中Ay2z1z1，Bz2z2x1x1，Cx2x2y1 y2因为a，b不共线，A,B,C不全为零，这表明空间任一平面可用x,y,z的一次方程来表示：反过来，可以证明关于x,y,z的一次方程（3.1-10）总表示一个平面。这是因为A,B,C不全为零，不失一般性，不妨设A0，那么（3.1-10）可以写成：

A2(xD)AByACz0 AxBCDAyA0z00 AD,0,0)，方位矢量为{B,A,0}和{C,0,A}的平面。因此，我们有定理 A定理3.11 空间中任一平面的方程都可表示成一个关于x,y,z的一次方程；反过来，每个关于x,y,z的一次方程都表示一个平面。这是过点(方程（3.1-10）叫做平面的一般式方程。一般式方程的特力：：AxByCzD0 1.D0平面过原点

2.A,B,C中有一个为零，比如C0，这时AxByD0

D0（0，0，z）不满足方程，无交点 与z轴平行

D0 过z轴

C0，平面过z轴或平行z轴

3.A,B,C有两个为零，BC0，这时AxD0

D0 与xoy平行

D0 x0

与xoy重合例2 求过点M1(2,1,1)，M2(3,2,1)且平行于z轴的平面方程。解：设平行于z轴的平面方程为AxByD0（1）它过M1,M2两点，代入（1）得

2ABD0

（2）3A2BD0

（3）

111221由（2）（3）得 A:B:D::1:1:1

211332所以所求平面方程为xy10

AxByD0令：因为2ABD0

关于A,B,D有非零解

3A2BD0x所以2y1110

即：xy10

3213.平面的法式方程

（1）确定平面的几何条件：过定点M0且与非零矢量n垂直的平面唯一确定

法矢量：与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量。

（2）导出方程：取直角坐标系{O;i,j,k}，设r0=OM0，r=OM点M在平面上

M0Mn

即：n(rr0)0（3.1-11）

矢量形式的点法式方程

用坐标表示： 设n{A,B,C}，r0(x0,y0,z0)，r(x,y,z)则A(xx0)xB(yy0)C(zz0)0（3.1-12）点法式方程

展开

记D(Ax0By0Cz0)则可写成 AxByCzD0

由此可见，在直角坐标系下，平面的一般式方程中一次项系数A,B,C由简明的几何意义：它们是平面的一个法矢量！

例3 已知两点M1(1,2,3)，M2(3,0,1)，求线段M1M2的垂直平分面的方程。解：因为M1M2{2,2,4}2{1,1,2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量

n{1,1,2}，又平面过M1M2中点M0(2,1,1)，由点法式得(x2)(y1)2(z1)0

即xy2z10为所求平面的方程。（3）点法式方程的特殊情形：

平面上的点M0取自原点O向平面的射影P，而的法矢量n取单位矢量n，其方向：

0不过原点时n指向平面；当过原点时，n方向在垂直于的两个方向中任取一个。

设|OP|p，那么OPpn，由3.1-11，由点P和n决定的平面的方程为 0000n(rpn)0

即：nrp0

（3.1-13）矢量式法式方程

如果r(x,y,z)，n{cos,cos,cos} 那么由3.1-13得 0000xcosycoszcosp0

3.1-14 坐标式法式方程。特征：（1）一次项系数是单位法矢量的分量，平方和等于1。

（2）因为p是原点到平面的距离，则p0 4.化平面的一般方程为法式方程

AxByCzD0

（1）设n{A,B,C}，r{x,y,z}则上式可写为

nrD0与3.1-13比较可知，只要以1|n|1ABC222乘（1）就可得法式方程

AxABC222ByABC222CzABC222DABC2220

其中正负号选取一个，使他满足Dp0

即当D0时，与D异号，当D0时，符号任取一个。3.2 平面与点的相关位置

点M0(x0,y0,z0)

平面：AxByCzD0

在与不在两种 1.点到平面的距离 定义：（点到平面的离差）

如果自点M0向平面引垂线，垂足为Q，那么QM0在平面的单位法矢量n上的射影叫做点M0与平面间的离差，记作射影QM0

n00从定义可知

0|QM0|cos(n,QM0)

00QM0与n同向，0

QM0与n反向

0

|||QM0|

定理：点M0与平面：nrp0间离差nrp，其中r0OM0 证：OM0ONNQQM0 QM0rONNQ 0000射影QM0n0QM0n(rONNQ)nrnON0nrp

n00000000所以 nrp 00推论1 用坐标表示，点M0(x0,y0,z0)与平面：xcosycoszcosp0离差

x0cosy0cosz0cosp

推论2：点M0(x0,y0,z0)与平面：AxByCzD0间距离d|AxByCzD|ABC222 2.平面划分空间问题—————三元一次不等式的几何意义 三元一次方程：AxByCzD0表示平面

那么 AxByCzD0和AxByCzD0有什么几何意义呢？ 设M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)不在上两点，我们可以证明

若M1,M2在同侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0 若M1,M2在异侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

这是因为，当M1,M2在同侧时，Q1M1与Q2M2同向，所以(M1)与(M2)同号，设是的法式因子，则

(M1)(M2)

11(Ax1By1Cz1D)1(Ax2By2Cz2D)

2(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

所以(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

同理：当M1,M2在异侧时(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

因此，三元一次不等式的几何意义是：平面AxByCzD0将空间分成两部分，每一部分叫做半空间，可用不等式表示。

3.3 两平面的相关位置

1：A1xB1yC1zD10 2：A2xB2yC2zD20

1.位置关系：相交：有一条直线的公共点

平行：没有公共点

重合：两平面上点都是公共点

相交n1不平行n2 即A1:B1:C1A2:B2:C2

平行A1B1C1D1

A2B2C2D2A1B1C1D1

A2B2C2D重合2.两平面夹角 (n1,n2)或 (1,2)(n1,n2)cos(1,2)cosn1n2|n1||n2|

3.4 空间直线的方程

1.由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程

（1）确定直线的几何条件：过定点M0与非零定方向v平行的直线被唯一确定。直线的方向矢量：与直线平行的非零矢量v叫做直线的方向矢量。（2）导出方程：取标架{O;e1,e2,e3}，设r0OM0，rOM 点M在直线l上M0M∥v存在实数t，使M0M=tv 又M0MOMOM0rr0

所以rr0tv

即：rr0tv

（3.4-1）直线的矢量式参数方程。用坐标表示上式得，设M0(x0,y0,z0)，v{x,y,z}

xx0xtyy0ytzzzt0消去参数(tR)（3.4-2）坐标式参数方程

xx0yy0zz0

（3.4-3）xyz直线l的标准方程，也称对称式方程。

2.直线的一般方程。

因为空间直线l总可以看作过l的两个不同平面1与2的交线，设1：A1xB1yC1zD10

2：A2xB2yC2zD20

A1xB1yC1zD10则(A1:B1:C1A2:B2:C2)叫做直线l的一般式方程。A2xB2yC2zD203.直线的一般方程与标准方程互化。（1）标准方程xx0yy0zz0是一般方程的特例。xyzxx0zz0xazczx当xyz0时，上式即为

即：

yyzzybzd00zyxx0yy0y 当x,y,z有一个为零，不妨设z0，xy0，则有xzz00当x,y,z有两个为零，不妨设yz0，则有

xx0yy0zz0，根据约定，这时x00yy00，因此，标准方程总可变形为一般方程。zz00（2）一般方程A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20

（2）总可化成标准方程。

xazcyaxcxayc或或

（3）ybzdzbxdzbyd因为A1:B1:C1A2:B2:C2

即n1n20

B1所以B2C1C1，C2C2A1A1，A2A2B1A1不全为零，不妨设B2A2

由克莱姆法则

B10 B2则（2）化为A1xB1y(C1zD1)A2xB2y(C2zD2)B1B2A1A2(C1zD1)B1B1C1(C2zD2)B2BC2x2zA1B1A1B1A2B2A2B2C1C同理y2A1A2A1A2zB1B2D1D2A1A2A1A2 B1B2D1D2 B1B2B1C1BC2令2a.A1B1A2B2xazc则有

ybzd同理，若B1B2A1A2D1D2c，B1B2C1C2A1A2A1A2b,B1B2D1D2A1A2A1A2d B1B2B1B2C1C2C1yaxc0，将有

C2zbxdA1xayc0，将有 A2zbyd方程（3）叫做直线l的射影式方程。

xatc在（3）中，令zt，则有ybtd

参数方程

ztxcydz

标准方程 ab1一般式 先化成射影式再化成参数式再化成标准方程。4.直线的方向数、方向角、方向余弦

直线l的方向矢量的方向角,,与方向余弦叫做直线l的方向角与方向余弦。

直线l的方向矢量的分量X,Y,Z或与它成比例的一组数l,m,n(l:m:nX:Y:Z)叫做直线l的方向数。

设l,m,n为l的一组方向数，则取v{l,m,n}

cos/llmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 又vv{l,m,n} 所以

cosllmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 这说明直线的方向角与方向余弦各有两组。3.5直线与平面的相关位置

1.直线与平面相关位置有三种。相交：有且只有一个公共点。平行：无公共点

直线在平面内：直线上的点都是公共点 直线l：xx0yy0zz0（1）XYZ平面：AxByCzD0（2）

为了研究直线与平面的交点，将（1）改为参数方程。

xx0Xtyy0Yt

（3）代入（2）整理得 zzZt0(AxByCz)tAx0By0Cz0D0（4）

当且仅当AxByCz0时，（4）有唯一解。t这时直线与平面有唯一公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）无解，直线与平面无公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）有无数个解。这时直线与平面有无数多个交点，即直线在平面内。

2.直线与平面的交角。

（1）定义：当直线与平面不垂直时，直线与平面间的角是指着直线和它在平面内射影所构成的锐角。当直线与平面垂直时，交角规定为直角。

（2）导出交角公式：当直线与平面不垂直，设直线与平面内射影交角为

3.6 空间两直线的相关位置 1.空间两直线的相关位置 位置关系：（1）异面（2）共面

Ax0By0Cz0D

AxByCzL1：xx1yy1zz

1（1）X1Y1Z1xx2yy2zz

2（2）X2Y2Z2L2：L1与L2共面M1M2，v1，v2共面 L1与L2异面M1M2，v1，v2异面

2.空间两直线的夹角

就是它们方向矢量的夹角，即(l1,l2)(v1,v2)或(l1,l2)(v1,v2)

l1l2v1v2X1X2YY12Z1Z20

3.异面直线间的距离与公垂线方程。

空间两直线上点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离。相交线、重合线——————距离为零 平行线————点到直线的距离 异面直线间距离————

异面直线的公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线。

设两异面直线l1与l2，公垂线为l0，垂足分别为N1,N2，设P1,P2分别为l1与l2上任意点，则P12||PP12||cos(l0,PP1)||PP12| 1,P2在l0上射影为N1,N2，|N1N2||射影l0PP这说明异面直线上任意两点间距离公垂线最短。

d|N1N2||射影l0M1M2||射影x2x1X1X2Y1Y2Z1Z22v1v2M1M2||(v1v2)M1M2||v1v2||(M1M2,v1,v2)||v1v2|

y2y1Y1Y2Z1Z2X1X22z2z1Z1Z2X1Y12

X2Y2公垂线方程

设公垂线l0，方向矢量v0v1v2，那么l0可以看作过直线l1平行于v0的平面1与过直线l2且平行于v0的平面2的交线。xx1X1X因此公垂线方程为xx2X2Xyy1Y1Yyy2Y2Yzz1Z10Zzz2Z20Z

其中v0v1v2{X,Y,Z}{Y1Y2Z1Z1,Z2Z2X1X2X2Y2,X1Y1}

3.7空间直线与点的相关位置。

点与直线位置关系：点在直线上与点不在直线上两种： 点到直线的距离 直线L：xx1yy1zz1

点M0(x0,y0,z0)XYZ设M1(x1,y1,z1)，v{X,Y,Z}，M1M0{x0x1,y0y1,z0z1} d|M1M0v||v|y0y1Yz0z1z0z1ZZ22x0x1x0x1XX222y0y1Y2XYZ 3.8平面束 定义：空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束。那条直线叫做平面束的轴。

空间中平行于同一个平面的所有平面的集合叫做平行平面束。

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