椭圆及其标准方程教案2(精)_椭圆及其标准方程教案
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椭圆及其标准方程教案2
教学目的(1)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；
(2)通过椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．
教学过程
一、椭圆概念的引入
第一组问题——复习提问：
1．什么叫做曲线的方程？
2．直线方程的一般形式是什么？简述直线与二元一次方程的关系．
3．圆的一般方程是什么？主要特征是什么？
对上述问题学生的回答基本正确，如一般同学均能初步了解曲线方程的意义，理解直线与二元一次方程Ax＋By＋C＝0是一一对应关系，掌握圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是关于x、y的二元二次方
22程，且具有以下重要特征：(1)x与y的系数都是1；(2)缺xy这样的项；(3)D2＋E2－4F＞0．
[温故而知新，以旧带新，便于引导学生在已有的知识基础上去探求新知识．]
第二组问题——引导学生联想、归纳、分析、发现新问题：
1．如前所述，每一个二元一次方程都表示一条直线，那么每一个二元二次方程是否都表示圆，若不是，具备什么条件下它所表示的曲线就不是圆？
对此问题学生一般能回答：“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零[有的同学指出不满足上述条件(3)时]，这样的方程所表示的曲线都不是圆．”
2．圆的几何特征是什么？
一般学生能回答：“圆上任意一点到圆心(定点)的距离等于半径(定长)”．这时要进一步提问：“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆？”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题．学生翻阅课本后能回答：
“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆．”
“到两定点距离之比为一常量的动点轨迹也是圆．”
(对此，经提示，有学生补充这一常量应不等于1，否则为线段的垂直平分线．)
“到两定点连线斜率乘积等于－1的动点轨迹也是圆．”(当然还应除去两定点．)
[启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫．]
第三组问题——深入思考与探索：
1．一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？
这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望．
2．如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点距离之比为常量”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？
类比的能力大部分学生是具备的(尽管程度有差别)，经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：
“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹．”
“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹．”
“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹．”
“到定点与定直线距离相等的动点轨迹．”
以上是学生受到已做习题的启发而提出的．
还有学生通过类比提出：
“到两定点距离的立方和(差)等于常量的动点轨迹”；“到定点与定直线距离的比为常量的动点轨迹”；“到定点与定直线的距离和(差)等于常量的动点轨迹”；等等．
对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神教师予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形．
[以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出新曲线的概念已是水到渠成了．]
譬如说，同学们提出的“若动点到两定点距离之和等于常量，则此动点轨迹是什么？请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种 绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹．
(课前要求学生准备图钉若干，细线一根．)
学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！
教师问：“椭圆，在哪些地方见过？”
有的学生说：“立体几何中圆的直观图．”
(立体几何中采取的也是近似画法，但教材中已提出椭圆名称．)
有的学生说：“人造卫星运行轨道．”
(这是学生从物理课本中了解的．)
有的学生说：“饼干罐头盒，洒水车，装油车等．”
教师指出：确切地说，应是它们的横截面的轮廓线．
[按学生认识规律与心理特征引导学生自己分析、探索、启发学生认识新的概念，至于新概念在实际中的形象也放手让学生自己对照、回顾，增强实践感受，这样更有利于学生学习能力的培养．]
在上述基础上，引导学生概括椭圆定义．学生开始只强调主要几何特征——到两定点距离之和等于常量．这时教师通过演示(将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外)启发学生思考．学生认识到需加上限制条件：“在平面内．”教师则追问：“否则会形成什么几何图形？”学生想象到是椭球形．教师边演示边提示学生注意：这里的常量有什么限制吗？若这个常量等于两定点距离？小于呢？学生认识到，这时都不可能形成椭圆，前者变成了线段，后者轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离．”
这样，学生得出了完整的椭圆定义：平面内到两定点的距离之和等于常数(大于两定点距离)的点的轨迹叫做椭圆．
教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距．
二、推导椭圆的标准方程
给出椭圆的定义后，教师即可提出：由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知，因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程．
[让学生明确思维的目的，才能调动学生思维的积极性．]
如何建立曲线方程？首先应建立适当的坐标系．建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则．如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性．
[让学生在思考议论中加强对这种优化原则的认识．]
这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的：
以两定点F1．F2的连线为x轴；以线段F1F2的垂直平分线为y轴，设|F1F2|＝2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任一点，则有F1(－c，0)，F2(c，0)．
下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆定义即可写出椭圆的方程
[正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，教学中应着重培养学生这方面的能力．]
教师指出：上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化．
(化简方程可让学生完成．)
多数学生利用初中简化无理方程的一般方法进行，移项后两边平方逐步化去根号，与教材中化简过程类似，教师在巡回观察指导中，启发几个反映较快的学生仔细观察两个根号下代数式的特征，设法先化去其中一个根号．即将等式
[(x＋c)2＋y2]－[(x－c)2＋y2]＝4cx，两边分别除以方程两边，即得
与原方程联立易得
注意a＞c，则可得
为使方程更为对称和谐起见，由a2－c2＞0，令a2－c2＝b2，则得方程
[坐标法即用代数方法研究几何问题，因此熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．缺乏一定的运算能力在解析几何中几乎是寸步难行，因此教学中必须注意不失时机加强运算技能的训练！]
关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，教师可简要作些提示：
若点(x′，y′)适合方程
则此点应在椭圆上，事实上由
由上述变形逆推即可得
注意到a＞c，且|x′|≤a，则可知
即点(x′，y′)到两定点F1和F2距离之和为2a．
故点(x′，y′)必在椭圆上．
教师指出：由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质．这一简化的方程称为椭圆的标准方程(焦点在x轴上)．
三、供课后思考的参考题
1．推导椭圆方程时，若使焦点在y轴上[即为F1(0，－c)，F2(0，c)]，你能知道此时方程形式吗？它与焦点在x轴上的方程有何联系？
(1)椭圆的对称性；(2)椭圆的范围及常数a、b具有什么几何特征；(3)这一方程与圆x2＋y2＝a2作一比较，两者有何联系？由两方程分别得出
回顾三角函数图像y＝Asinx与y＝sinx的关系你能提出什么设想？
等式中发现椭圆的又一重要特征吗？
教案说明
(1)这份教案是针对重点中学班级设计的，也在笔者所在学校不止一次实施过．教案设计的基本指导思想是着眼于提高学生学习数学的自觉性与基本学习能力，增强课堂教学的启发性与培养性，因此教学安排与一般设想不同．目前教学中常受考试干扰，比较注重实用性与所谓“硬指标”．如本节课常常直接给出定义，尽快得出两种标准方程，举例示范，使学生课外能学会使用方程解答课本习题．而这份教案却花一定气力引导学生回顾、探索、分析，然后引出椭圆的概念，随后只建立了焦点在x轴上的标准方程，并没有要求学生会使用；另外关于由方程研究椭圆性质常常安排在后面的课内，这里却又提前让学生思考，似乎都是“软指标”，在考试中也不一定用得上．不同的设想反映出不同的着眼点与数学教学目的的认识差别，把知识与方法作为结果给予学生，还是着重引导学生领悟获得这些结果的思想与方法，是把学生作为接受教师传授知识的客体，还是增强学生的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体．本教案如前所述，重点放在概念引入与方程建立的思维过程上，从圆锥曲线整体结构考虑，让学生获得比较完整的认识过程，初步建立起总体思维框架，至于结果的熟练与运用在以后的逐步强化训练中是不难达到的．教学的实践也证明，这样是有利于学生基本数学素质的提高，在以后的双曲线、抛物线的教学中可见其成效．
(2)这份教案设计的另一思想是探索在基础知识教学过程中如何加强学生能力的培养．数学上每一个重要概念的引入与定义，每一个重要定理(法则、公式)的发现与推证，几乎都历经前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造的漫长过程．这样长期的探索过程中往往蕴含着数学中一些重要的思想方法，对思维有着重要的启迪作用，教学中若不充分认识甚至放弃这些绝好的培养机会，将是教学上的重大失策．当然，作为教学不必要(也不可能)完全重复前人漫长的探索过程，但若细心体会、抓住方法的精神实质，精心组织设计，创造良好情景，就可使多数学生处于亢奋状态，增强探索者的自信心理，学习前人的探究精神，逐步领会其中的主要思想方法．在教学中长期坚持这样做，必可大大提高学生的思维素质与学习能力，使教学获得良好的效果．
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