届高考数学大一轮复习 课时训练78 不等式的证明及柯西不等式 理 苏教版_高考数学总复习不等式

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课时跟踪检测(七十八)不等式的证明及柯西不等式

1．已知x，y，z∈R，若x4＋y4＋z4＝1.求证：x2＋y2＋z2≤3.2．(2014·大连模拟)已知a>0，b>0，c>0，a＋b>c.求证：abc

1＋a1＋b1＋c.3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.4．已知a，b，c∈R＋.求证：b2c2a2b

a＋b＋cc a c

ab a

bc

5．已知f(x)＝1＋x2，a≠b，求证|f(a)－f(b)|

6．(2014·金华模拟)已知x，y，z是正实数．

2求证：x2y＋zy2x＋zz

x＋yx＋y＋z

2.7．设a，b，c均为正实数．

111111求证：＋≥.2a2b2cb＋cc＋aa＋b

8．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x；

(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x＋1)(x＋1)≥8x是否仍然成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x值．

答案

1．证明：x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1为定值，利用柯西不等式得到

(x＋y＋z)≤(1＋1＋1)[(x)＋(y)＋(z)]．

从而(x＋y＋z)≤3⇒x＋y＋z≤3.时取“＝”号，111

又x＋y＋z＝1，所以x＝y＝z＝

2．证明：∵a>0，b>0，∴

∴，>.1＋a1＋a＋b1＋b1＋a＋b******33233x2y2z23 3aaabbba＋b>.1＋a1＋b1＋a＋b

x1而函数f(x)＝1－1＋x1＋x

在(0，＋∞)上递增，且a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)，则a＋b

1＋a＋bc

1＋c，所以a

1＋ab

1＋b>c

1＋c

故原不等式成立．

3．证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)

＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)

＝(a2－b2)(2a＋b)

＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.4．证明：∵a，b，c∈R＋，b2c2∴bcb

aba·b＝2c a，c2

同理，c

b＋a2

c≥2ab

a2b2a

cabc b2c2a2

三式相加可得ba＋bc≥c＋a·c

a＋ba

bc.5．证明：∵|f(a)－f(b)|

＝|1＋a2－1＋b2| 22

＝|a－b|

1＋a21＋b2＝|a－b||a＋b|

1＋a1＋b又|a＋b|≤|a|＋|b|

＝a2b2

∴|a＋b|

1＋a21＋b2∵a≠b，∴|a－b|>0，∴|f(a)－f(b)|

6．证明：∵x，y，z是正实数，令a＝x

y＋z，y

x＋zzx＋y，b＝(y＋z，x＋z，x＋y)，∵|a·b|2≤|a|2|b|2，∴x

y＋zy＋z＋yx＋zx＋z＋

z

x＋yx＋y2

≤x2

y＋z＋y2

x＋zz2

x＋y·[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]，当且仅当x＝y＝z时，等号成立．

x22

即(x＋y＋z)2≤2y

z＋yx＋zz2

x＋y·

(x＋y＋z)，∴x2y＋zy2

x＋z＋z2x＋yx＋y＋z27．证明：∵a，b，c均为正实数，∴1211

2a＋2b11

≥2aba＋ba＝b时等号成立；

1111

22b2c≥2bc1

b＋c，当且仅当

b＝c时等号成立；

22c2a≥1

2ca1

c＋a，当且仅当

c＝a时等号成立；

三个不等式相加即得 1

2a12b1

2c1

b＋c＋1

c＋a1

a＋b

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

8．解：(1)证明：x是正实数，由基本不等式知，xx，1＋x2≥2x，x3＋1≥2x3，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2x·2x·

2x3＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．

(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立． 由(1)知，当x>0时，不等式成立；

当x≤0时，8x3≤0.而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)

＝(x＋1)(x＋1)(x－x＋1)222

12322＝(x＋1)(x＋1)x－＋ 24

此时不等式仍然成立．

柯西不等式的证明

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