不等式证明的几种方法_证明不等式的几种方法

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不等式证明的几种方法

刘丹华

余姚市第五职业技术学校

摘要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题

引言

证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。

一、构造法

构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。

（一）、构造方程证明不等式

某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。

例1如果x，y，z均为实数，且xyza，xyz

求证：0x22212a(a0).2222a，oya，0za.33

3证明：由已知的两个等式中消去x，得 12a

2220(ayz)yza  2y2(az)y2z2az22222

因为 yR，所以 4(az)4(2za)0

所以z(3z2a)0 22

2a 3

22同理可证： 0xa，0ya.33所以0z

（二）、构造函数证明不等式

根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。

例2已知a，b，c为ABC的三边，求证：

证明： 从结论形式看，各项均具有

f(x)abc.1a1b1cM的形式，于是可构造函数 1Mx，易证 f(x)在R上为增函数 1x

因为a，b，c为ABC的三边

所以abc

所以f(a)f(bc)

即abcbcbc.1a1bc1bc1bc1b1c

又如： 求证 ab

1aba

1ab

1b 可用类似方法证明。

（三）、构造几何图形证明不等式

把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。例3已知实数a，b满足ab1，求证：(a2)(b2)2225.2分析：原式左边可看作点(a,b)与点(2,2)间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点

P(2,2)，Q(a,b)，其中Q是直线xy1与两坐标轴的交点A，B连线段上点，如图1所示

图

1原式左边就是PQ，设AB中点C(,)

因为 PC22112225，又PAB为等腰 22所以 PCAB故PQPC，即PQPC

所以(a2)(b2)

（四）、构造复数证明不等式

222225.2时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以证明。例4已知为a，b，c非负实数，求证：

abc).此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。

分析：a，b，c非负实数，abcabc，这样，不等式左右各项和复数模表示相似

于是可构造复数：

z1abi，z2bci，z3cai.则

z1z2z3z1z2z3 (abc)(1i)i(a

bc)abc)

从而命题得证.二、反证法

反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“P”与它的否定“非P”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。

（一）、推理的结果与已知的知识相矛盾

例5对实数a，b，c，A，B，C，有aC2bBcA0.且acb0.2求证： ACB0.分析： 假设a1，a2，，an中有正数且aACB0，则 ACB0，由题设，有 acb0，相乘得aAcCbB，因为aCcA2bB.所以(aCcA)24b2B24aAcC，整理得(aCcA)20，这与“任何实数的平

方非负”矛盾.（二）、推理的结果与已知条件相矛盾

例6已知数列a1，a2，，an(n3)满足a1an0，且22222

2ak1ak12ak(k2,3,,n1).求证： a1，a2，，an均是非正数.分析： 假设ap是数列a1，a2，，an中出现的第一个正数，则 P1且 ap10

由 ak1ak12ak 得 ap1apapap10，即 ap1ap0.如此类推可得：anan1ap0

与已知an0 矛盾.（三）、推出两个相互矛盾的结论

例7设 zkxkyki，xk,ykR，(k1,2,,n)

r是 z12z22zn2的平方根的实部绝对值.求证： rx1x2xn.分析： 设(abi)2z

k

1nn2k，(a,bR)

即(abi)2(x

k1kyki)

2比较两边的实部与虚部，有

nn2222(x)(y)ab,kkk1k1 nxyab,kkk1

nn

假设rx

k1k，即a

nxk1k，则a(2x

k1nk)xk2③ 2k1

n2结合 ① 与 ③ 知 by

k1

2k，从而

ab

④

另一方面，由柯西不等式知，abxkyk

k1n

与 ④ 矛盾故rx1x2xn 成立.反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设进行推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。

（四）、推理的结果与假设相矛盾

例8已知 an是首项为2，公比为1的等比数列，是它的前n项和，2

(1)用Sn表示Sn1；

(2)是否存在自然数c和k，使得

分析：(1)Sn422n，Sn1Sk1c2成立.Skc1Sn2； 2

(2)假设存在符合条件的自然数c和k，则 Sk1c421kc2，从而

2kSkc42c

4c321k

0（*）4c221k

1k1k令 t4c，则由（*）式得22t32

即 2t2k13，由 c,kR 知 tR

上述不等式对任意t,kN不成立.故这样的自然数c和k不存在.反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件；二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。

可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束；分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。

不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

参考文献：

[1] 唐为民.构造法在证明不等式中的应用[J].数学教学通讯.2001.9.41-42.[2] 周顺钿.用反证法证明不等式[J].中学数学研究.2004.4.35-36.[3] 翁耀明，毛家俊.某些不等式的概率方法证明[J].上海电力学院学报.2003.3.57-59.[4] 徐群芳.高等数学中证明不等式的几种方法[J].太原教育学院学报.2004.9.48-50.[5] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京.高等教育出版社.1991.3.

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