届高三数学(理科A版)第一轮45分钟滚动基础训练卷(第65讲 算法初步第68讲数学证明,含精细解析)_算法初步小题训练

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45分钟滚动基础训练卷(十五)

(考查范围：第65讲～第68讲 分值：100分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

2－i1．[2013·辽宁卷] 复数＝()2＋i

3434A.－ B.i 555

543C．1－ D．1＋55

2．[2013·信阳模拟] 在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0，2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是()

A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于

1B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于

1C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于

1D．以上都不对

3．计算机执行下面的程序后，输出的结果是()

A＝1

B＝

3A＝A＋B

B＝A－B

PRINT A，B

END

A．1，3B．4，1

C．4，－2D．6，0

11－7i4．[2013·江苏卷改编] 设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为()1－2i

A．6B．7

C．8D．9

5．[2013·石家庄模拟] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，利用如图G15－1所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（）

图G15－1 A．n>10?B．n≤10?

C．n

6．[2013·沈阳模拟] 观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，„，则72 011的末两位数字为()

A．01B．43C．07D．49

7．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是()

A．－3＋2iB．3＋2i

C．－2＋3iD．2＋3i

8．[2013·太原检测] 执行如图

S值是()

图G15－2 23A．－1B.D．4 3

2二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

9．[2013·郑州模拟] 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为ai

(其中a是这8个数据的平均数)，则输出的S

图G15－

31210．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋ab的最小值为________．

11．[2013·江西八校联考] 已知如图G15－4所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为________．

图G15－

4三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

12．已知复数z3x－1－x＋(x2－4x＋3)i且z>0，求实数x的值．

1113．数列{an}(n∈N*)中，a1＝0，an＋1是函数fn(x)＝3－an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点，32求通项an.14．[2013·郑州模拟] 设f(n)＝1＋2＋3＋„＋n，g(n)＝12＋22＋32＋„＋n2，h(n)＝13＋

n（n＋1）g（1）1233332＋3＋„＋n，根据等差数列前n项和公式知f(n)＝1＝，23f（1）

122222g（2）1＋25g（3）1＋2＋3147＝＝，＝＝ 63f（2）1＋23f（3）1＋2＋3

g（4）12＋22＋32＋42309＝＝，„ 103f（4）1＋2＋3＋

4g（n）2n＋1猜想，3f（n）

2n＋1（2n＋1）n（n＋1）即g(n)＝·f(n)＝.36

(1)请根据以上方法推导h(n)的公式；

(2)利用数学归纳法证明(1)中的结论．

45分钟滚动基础训练卷(十五)

1．A [解析] 本小题主要考查复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．

2－i（2－i）23－4i34因为＝＝－i，所以答案为A.5552＋i（2＋i）（2－i）

2．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.3．B [解析] 首先把A＋B＝4的值赋给A，此时A＝4，B＝3，再把A－B＝4－3＝1的值赋给B，故输出的是4，1.4．C [解析] 本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数．

11－7i（11－7i）（1＋2i）因为5＋3i，所以a＝5，b＝3.51－2i

5．D [解析] 因为求第10项，肯定n>9时输出．

6．B [解析] 75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，∵2 011＝502×4＋3，∴72 011与73末两位数字相同，故选B.－6－4×137．A [解析] 方法一：x＝3±2i，故选A.2

方法二：将A，B，C，D各项代入方程验证，发现只有A项中的－3＋2i，满足(－3＋22i)＋6(－3＋2i)＋13＝9－12i－4－18＋12i＋13＝0.故选A.8．A [解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i与6的关系． 22223当i＝1时，S＝＝－1；当i＝2时，S＝＝i＝3时，S＝； 222－42－（－1）323

22当i＝4时，S＝＝4；当i＝5时，S＝1；当i＝6时程序终止，故输出的结32－42－2

果为－1.9．7 [解析]由已知得a＝44，∴当i＝1时，S＝16，i＝2，S＝25；i＝3，S＝26；„；

56i＝8，S＝56，这时i≥8，S7.8

121210．3＋22 [解析] 由题知直线经过圆心(2，1)，则有a＋b＝1，＋(a＋b)ababb2a＝3＋ab≥3＋22.11．20 [解析] 据题意若当箭头a指向①时，运行各次的结果S＝1，i＝2；S＝2，i＝3；S＝3，i＝4；S＝4，i＝5；S＝5，i＝6>5，故由判断框可知输出S＝m＝5；若箭头a指向②时，输出的结果为S＝1＋2＋3＋4＋5＝15，故m＋n＝15＋5＝20.12．解：∵z>0，∴z∈R，∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.又z>03x－1－x>0，∴当x＝1时，上式成立；

当x＝3时，上式不成立．

∴x＝1.13．解：易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2.(1)若3an

当x0，fn(x)单调递增；

当3an

当x>n2时，f′n(x)>0，fn(x)单调递增，故fn(x)在x＝n2时，取得极小值．

(2)若3an>n2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an时取得极小值．

(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)无极值．

因a1＝0，则3a1

因3a2＝3

因3a3＝12>32，由(2)知a4＝3a3＝3×4，因3a4＝36>42，由(2)知a5＝3a4＝32×4，－由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n3.下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．

假设当n＝k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由(2)知ak＋1＝3ak>k2，从而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，所以3ak＋1>(k＋1)2.－故当n≥3时，an＝4×3n3，于是由(2)知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，－因此an＝4×3n3，0（n＝1），h（1）131×2h（2）13＋2392×3h（3）13＋23＋33

14．解：(1)由＝＝1＝＝3＝22f（1）1f（2）1＋23f（3）1＋2＋3

33333×4h（4）1＋2＋3＋41004×536＝＝6＝＝＝10＝ 62102f（4）1＋2＋3＋4

h（n）n（n＋1）n（n＋1）n2（n＋1）2猜想，即h(n)f(n)＝224f（n）

n2（n＋1）2(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1＝左边，即当n＝1时，式子成4

立；

k2（k＋1）2*3333②假设当n＝k(k∈N)时，1＋2＋3＋„＋k＝ 4

k2（k＋1）233333则当n＝k＋1时，1＋2＋3＋„＋k＋(k＋1)＝＋(k＋1)3＝(k＋42k＋（k＋1） 1)242（k＋1）（k2＋4k＋4）（k＋1）2[（k＋1）＋1]2＝＝44

即当n＝k＋1时，原式也成立．

综上所述，13＋23＋33＋„＋n3＝错误!对任意n∈N*都成立．

综上所述，an＝1（n＝2），4×3n－3（n≥3）.

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