二阶导数与函数凹凸性证明_二阶导数与函数凹凸性

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证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1

对f'(x)在区间[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得

[f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f”(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h

因为f"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即

[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

f(x)

f(x)

（1）

那个二阶条件是充要条件，必要性证明，假设是凹的，（1）式改写成，f(x)-f(x1)/x-x1=f(x2)-f(x1)/x2-x1,所以f'(x1)=0

充分性证明，由于f''(x)>=0,f'(x)单调增（广义的），这里要用拉格朗日定理了

f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1

f(x2)-f(x)/x2-x=f'(b),其中x

所以f'(a)

即f(x)-f(x1)/x-x1

显然与凹定义等价

证毕