例说借助导数证明函数不等式 人教版（材料）_函数与导数不等式证明

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用导数证明不等式是一种重要方法，其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式；而如何构造辅助函数是用导数方法证明不

等式的关键，下面举例说明。

一、直接作差构造函数

例1：求证不等式xx

22ln(1x)xx2

2(1x)在x(0,)等成立。证明：令f(x)ln(1x)(xx2

2),补充定义f(0)=0.f(x)'

11x1xx2

x10

yf(x)在［0，＋）上单调递增。

当x［0，＋）时，f(x)＞0恒成立ln(1x)x-x2

2.(1)

令g(x)x－x2

2(1x)

2－ln(1x),补充定义g（0）＝0，则

g(x)1－'4x4x-2x

224(1x)-1

1x2x2

24(1x)0

g(x)在[0,)上单调递增。

当x［0，＋）时，x－x2

2(1x)-ln(1x)0恒成立。（2）

故由（1）、（2）可知，x(0,)时，不等式x－x

2ln(1x)x-x

2(1x)成立

点评：一般的，用导数证明不等式时要注意所构造的函数在区间端点处是否连续，即是否要补充函数在端点处的定义；另外要注意用到一个结论：设函数f(x)在区间[a,+)上连续，在区间(a,+)内可导，且f(x)0;又f(a)0,则x>a时，f(x)>0。

例2：，证明不等式： logx(1x)log2(1x)1；

2'2证明：（1）对函数f(x)求导数：f(x)(xlogx)[(1x)log2(1x)]

log

xlog2(1x)

11ln

2

1ln2

.log

xlog2(1x).于是f()0.当x当x

1212

时,f(x)log时,f(x)log

xlog2(1x)0,f(x)在区间(0,xlog2(1x)0,f(x)在区间（12)是减函数，12,1)是增函数.所以f(x)在x时取得最小值，f()1

点评：.若f(x)，g(x)差函数为非单调其差有极大值或极小值，用导函数求其极大值、极小值，从而证明不等式。

二、根据题目自身特点构造函数

1、变形（代换、比商等）后再作差构造函数 例3，若x(0,),求证证明：令1＋

则原不等式

1x

1x

1＜ln

x1x

1x.‘

t,x0，t1,x1t

1t-1

1－

'

lntt-1，令f(t)＝t－1－lnt，f(t)＞1－

1t

t(1,),f(t)0,f(t)在t(1,)上为增函数。

f(t)f(1)0,t1lnt.令g(t)lnt1

'

1t

1t,g(t)

'

1t



t1t,t(1,),g(t)0,g(t)在t(1,)上为增函数。g(t)g(1)0,lnt1

1x1

ln

x1x

1x.1x,0x实际上就是把原来取不到的x=0

1t,点评：(1)代换作用：此题设代换t1

值代换为可取到的t=1,把原来要 研究函数在x处的值，等价为研究函数在t=1处的值；(2)若令t

1x

则ln(1

1x)

1x

即为例（21）之特例，想一想

1x1

ln

x1x

如何证？

2、用分离变量的思想构造函数 例4．若

e,证明＞



证明：原题等价于

ln





ln

,设f(x)

lnxx,当xe时，f(x)

'

1lnxx

0,当xe时，f(x)单调递减，＞＞e,

lnln



lnln,即



.

说明：此题构造的方式不是直接作差或作商，而是根据题目的特点先用分离变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边再构造函数。

3、端点变量法构造函数

例5．若g(x)=xlnx, 0

ab2)

分析与证明：本题是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时把其中的一个端点设为自变量。设F(x)=g(a)+g(x)-2g(则F(x)g(x)g（'

'

'

ax2)(axb).ax2)lnxln

ax2,当x=a时，F'(x)0,F(x)取得极小值F(a),所以F(b)>F(a)=0, 即0

ab2).设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G'(x)lnxln(ax).当x>0时，G(x)0,即当x0时，G(x)是减函数，g(b)

ab2

')

点评：一般的利用辅助函数证明不等式时，直接将不等式的两端移项到一侧，求导就可以了。但本题中的不等式涉及区间的端点，因此就涉及选择自变量的问题，本题就是把其中的一个端点设为自变量。

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