天津市届高三数学总复习之综合专题：导数在研究函数中的应用 4、利用导数研究不等式证明(学生版)_高中数学函数导数专题

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导数在研究函数中的应用4——利用导数研究不等式证明

思路点拨：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式fxgx在区间D上成立，等价于函数fxgx在区间D上的最小值等于零；而证明不等式fxgx在区间D上成立，等价于函数fxgx在区间D上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。

1、当eabe2时，证明不等式ln2bln2a

2、①当0t1时，证明不等式lnt1t；②k为正的常数，当a0时，曲线 21t4(ba)2e

C:yekx上有两点Pa,eka,Qa,eka，试证明过点P的C的切线与过点Q的C的切线的交点的横坐标是正的。

3、设a0，函数f(x)x1ln2x2alnx,(x0)。

F(x)在(0,)内的单调性并求极值； 0（1）令F(x)xf(x)，讨论

（2）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1。

4、已知函数f(x)ln(x1)x。

（1）求函数f(x)的单调递减区间；

（2）若x1，证明：1

1ln(x1)x。x

15、已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0。设两曲2线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同。

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：f(x)g(x)(x0)。

6、已知函数f(x)xex(xR)。

（1）求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，f(x)g(x)；

（3）如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22。

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