230导数证明不等式答案_导数的不等式证明

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1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

【例2】已知函数f(x)12xlnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数

223x的图象的下方；

3分析：函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，1212即x2lnxx3，只需证明在区间(1,)上，恒有x2lnxx3成立，设2323

1F(x)g(x)f(x)，x(1,)，考虑到F(1)0 6

要证不等式转化变为：当x1时，F(x)F(1)，这只要证明： g(x)在区间(1,)是g(x)增函数即可。

【解】设F(x)g(x)f(x)，即F(x)

22312xxlnx，321(x1)(2x2x1)则F(x)2xx= xx

(x1)(2x2x1)当x1时，F(x)= x

从而F(x)在(1,)上为增函数，∴F(x)F(1)

∴当x1时 g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，故在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)10 623x的图象的下方。3

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式

设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设F(x)f(x)g(x)做一做，深刻体会其中的思想方法。

熟悉化-------------到简单化进行思考

通过对所求结果的等量变形----------从一个命题等量转化为另一个自己所熟悉的命题 从而使问题得到解决

在坐标系中表示上下关系的是Y轴，表示左右关系的是X轴。所求问题转化为Yg ＞Yf即为转化为g(x)＞f(x)转化为证明不等式

不等式F(x)=g(x)-f(x)＞0

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)基本题型利用导数证明

1n11 都成立.n2n3

分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令

231x，则问题转化为：n32当x0时，恒有ln(x1)xx成立，现构造函数h(x)xxln(x1)，求导即可达到证明。

【解】令h(x)xxln(x1)，32

13x3(x1)2

则h(x)3x2x在x(0,)上恒正，x1x12

所以函数h(x)在(0,)上单调递增，∴x(0,)时，恒有h(x)h(0)0，即xxln(x1)0，∴ln(x1)xx

对任意正整数n，取x32231111(0,)，则有ln(1)23 nnnn

【警示启迪】我们知道，当F(x)在[a,b]上单调递增，则xa时，有F(x)F(a)．如果f(a)＝(a)，要证明当xa时，f(x)(x)，那么，只要令F(x)＝f(x)－(x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导．也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F'(x)０即可．

4、（2007年，陕西卷）f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a)

（C）af(a)≤f(b)（B）bf(a)≤af(b)（D）bf(b)≤f(a)

xf'(x)f(x)f(x)f(x)04、提示：F(x)，F(x)，故在（0，+∞）上F(x)2xxx

是减函数，由ab 有f(a)f(b) af(b)≤bf(a)故选（A）ab

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