立体几何证明题（精选4篇）_立体几何证明测试题

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第1篇：立体几何证明题

11.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2.如图5所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，AB//CD，PDAD，E是C A1 1D B

PB的中点，F是CD上的点且DF

PH为△PAD中AD边上的高.（1）证明：PH平面ABCD；

（2）若PH

1，AD1AB，2FC1，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EF平面PAB.3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABE分11AC11，D，别是棱BC，（点D 不同于点C），且ACC1上的点DDEF，为B1C1的中点．

求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；

（2）直线A1F//平面ADE．

4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．

（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD的体积．

5.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.（I）求证：平面EFG平面PDC；

（II）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比.6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C

。求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD平面BB1C1C.9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,ADAE,F

是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥

ABCF,其中BC

(1)证明:DE//平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD

图4

时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG.3

10.如图,在四棱锥PABCD

中,AB//CD,ABAD,CD2AB,平面PAD底面

ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求

证:

(1)PA底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF平面PCD

（2013年山东卷）如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,AB∥CD,AB2CD,E,F,G,M,N分别为

PB,AB,BC,PD,PC的中点

(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG平面EMN

11.

第2篇：立体几何证明题举例

立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE；

(2)求证：GH∥平面CDE；

(3)求三棱锥D－CEF的体积．

[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；

(3)变换顶点，求VC－DEF.[规范解答](1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－

BCM的体积．

[审题导引](1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证；

(2)证明AP⊥BC；

(3)根据锥体体积公式进行计算．

[规范解答](1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP.又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第3篇：立体几何证明大题

立体几何证明大题

1．如图，四面体ABCD中，AD平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BCCD． 求证：（1）EF//平面BCD（2）BC平面ACD．

2、如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB;

（2）求证：BD1⊥平面ACB

1（3）求三棱锥B-ACB1体积．

D C A B D1 C1 AB1

D3、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C

1B面AB1D1．求证：（１）C1O∥面AB1D1（2）AC1A

4.如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F

求证：（1）BC平面PAB；

（2）AE平面PBC；（3）PC平面AEF．

B

P

F

A

E

C

B5、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC平面BDE（3）若棱锥的棱长都为2，求棱锥的体积。

6.如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC

求证：AB⊥BCP

A

7.如图，在三棱锥S-ABC中，SABSACACB90，（Ⅰ）证明SC⊥BC；

（Ⅱ）若已知AC2,BC,SB29, 求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小。

8.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4,的余弦值。.DD13，求异面直线A1B与B1C所成角

第4篇：立体几何题证明方法

立体几何题型与方法

1．平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

(1)证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。(2)证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。(3).证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合2.空间直线（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面，b与 的关系是相交、平行、在平面 内.④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦ 是夹在两平行平面间的线段，若，则 的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）

（2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（3）.两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]： 是异面直线，则过l外一点P，过点P且与l 都平行平面有一个或没有，但与 l距离相等的点在同一平面内.（或 在这个做出的平面内不能叫 与 l平行的平面）

3.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）.直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行 线面平行”）[注]：①直线l与平面内一条直线m平行，则l∥m.（×）（平面外一条直线）②直线 l与平面 内一条直线m相交，则 l与平面相交.（×）（平面外一条直线）

③若直线l与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.（√）

④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.（×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）

⑥直线l与平面、 所成角相等，则（、可能相交）∥.（×）

（3）.直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（4）.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。

4.平面平行与平面垂直.（1）.空间两个平面的位置关系：相交、平行.（2）.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面内的任一直线平行于另一平面.（3）.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（4）.两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.注：如果两个二面角的平面分别对应互相垂直，则两个二面角没有什么关系.（5）.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.5.（1）.棱柱.a.①直棱柱侧面积：（c为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：（c是斜棱柱直截面周长，h 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱} {平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}.{直四棱柱} {平行六面体}={直平行六面体}.c.棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（×）（直棱柱不能保证底面是矩形,可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）

（2）.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）

ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等

iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：（底面周长c，斜高为h）

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为）

注：S为任意多边形的面积（可分别求多个三角形面积和的方法）.b.棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.（3）.球：a.球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：.②球的体积公式：.b.纬度、经度：①纬度：地球上一点 的纬度是指经过 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上 两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是 点的经度.附：①圆柱体积：（r为半径，h为高）②圆锥体积：（r为半径，h为高）

③锥体体积：（为底面积，为高）

（1）.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,.注：球内切于四面体：。

②外接球：球外接于正四面体，一、经典例题剖析

1、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；

2、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.3、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．

（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．

4、如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.(1)求线段PD的长；(2)若PC，求三棱锥P-ABC的体积.B

1P

B AD题3题4（第7题）

5、弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD外一点

F满足FC平面BED,FB=a（1）证明：EBFD（2）求点B到平面FED的距离.6．如图, 在三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，CC1平面ABC，BC4，AB5,AA14，点D是AB的中点，（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面

CDB1；（3）求三棱锥C1CDB1的体积。

7、如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD（1）证明：BD平面SAC；

（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACD？请证明你的结论；

（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。

8．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体0ABCDEFGH。图

5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.（第题）（第9 题）

9．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC ,AB2，tanEAB（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记ACx，V(x)表示三棱锥A－CBE的体积，求V(x)的表达式；（3）当V(x)取得最大值时，求证：AD=CE．

10．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且CC1C1EBC1AB1．

2（Ⅰ）求证：D1E∥平面ACB1；（Ⅱ）求证：平面D1B1E平面DCB1；（Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．

11、如图（1），ABC是等腰直角三角形，ACBC4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）．

（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积．

AA

DM

BBB

CC（第12题）（第11题）（第13题）11

112.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1．（1）求证：AB//平面PCD；的中点，求三棱锥M—ACD的体积．（2）求证：BC平面PAC；（3）若M是PC

BC3.13.如图,在三棱柱ABCA侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点, A1B1C1中，1AAB2,（1）求证：AB1//平面BC1D；(2)求四棱锥BAAC11D的体积.13．如图，三角形ABC中，AC=BC=2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分

2别是EC、BD的中点。（Ⅰ）求证：GF//底面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；

（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V。

14．如图,长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA11,AD2,E是BC的中点.(Ⅰ)求证：直线BB1//平面D1DE；(Ⅱ)求证：平面A1AE平面D1DE；(Ⅲ)求三棱锥AA1DE的体积.C

（第14题）A1 BD1 1 A D AB E（第15题）

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