微分与不定积分_不定积分凑微分法

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安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案

第六章 微分与不定积分（总授课时数 8学时）

在数学分析中，我们学了微积分学基本定理：

xd((R)f(t)dt)f(x)（1）若f(x)在[a,b]上连续，则

adx（2）若F(x)在[a,b]上连续，则(R)'xaF'(t)dtF(x)F(a)

xx本章的主要目的是要在Lebesgue积分理论中推广这一结果.主要内容: F(x)(L)xaf(t)dt(L)f(t)dt(L)f(t)dt为两个单调不减函

aa数的差.所以要讨论f(x)的变动上限函数F(x)的可微性，我们只需讨论单调函数的可微性.单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数.有界变差函数（即两个单调不减函数的差）.但是单调函数（有界变差函数）先微分后积分不能还原.所以我们进一步研究绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数），在绝对连续的条件下，牛顿—莱布尼兹公式得以推广.§1 单调函数的可微性

教学目的1、了解维它利（Vitali）覆盖与维它利定理。

2、了解单调函数不连续点集的特点，记住单调函数的微分定理.本节要点 掌握单调函数的微分定理.本节难点Cantor函数的性质.授课时数 2学时

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一、维他利（Vitali）覆盖

1、定义

设ER，V{I}是长度为正的区间族，如果对于任何的xE及任何 10，存在区间IxV，使xIx且mIx，则称V依维他利(Vitali)意义覆盖E简称E的V—覆盖.注：定义的等价形式为：对于任何的xE，存在一列区间{Ix}V，使xIx，n1,2， 且mIx0(n).2、定理1（维他利(Vitali)覆盖定理）

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*设ER且mE，V是E的V—覆盖，则可选出区间列{Ix}V，使各Ix互不1相交且m(EkIk)0.二、单调函数的可微性

定理2 设f(x)是[a,b]上的单调函数，则（1）f'(x)在[a,b]上几乎处处存在有限导数；（2）f'(x)在[a,b]上可积；（3）如果f(x)为增函数，有

[a,b]f'(x)dxf(b)f(a).注：等号不一定成立，即使f(x)是[a,b]上的连续单调不减函数，例如Cantor函数.Cantor函数(x)

（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）

a)在G[0,1]P的各构成区间上，在第n次去掉的2n1个开区间上依次取值为

135，,2n2n2nb)规定(0)0,(1)1;

2n1, 2nc)当xP{0,1}时,规定(x)sup{(t):tG且tx},称(x)为[0,1] 上的Cantor函数.显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数，并且导函数几乎处处为0，称(x)为[0,1]上的Cantor函数，有[0,1]'(x)dx01(1)(0).我们还可以证明Cantor函数在[0,1]上连续.否则，若(x)在x0(0,1)处不连续，则开区间((x0),(x0))或((x0),(x0))非空，此区间中的每个数都不属于(x)的值域，这与(G)[0,1]矛盾。（端点情形类似说明）.注：Cantor函数把长度为零的集合连续拉长成长度为1的集合——————————————————————————————

作业：P175 1

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练习题设开区间上的两个单调增加函数，若在一个稠密子集上相等，则他们具有相同的可微分点.2 设对任何n，fn(x)是[a,b]上的增函数，且在[a,b]上处处收敛于连续函数f(x)，则收敛是一致收敛.§2 有界变差函数

教学目的 熟悉有界变差函数的定义及性质，深入理解单调函数与有界变差函数的关系.本节要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定理.本节难点 有界变差函数的概念的理解.授课时数 2学时

——————————————————————————————曲线的求长：

定义1（弧长）设C是平面上一条连续弧，x(t),y(t),t，是它的参数表示，这里(t)，(t)为[,]上的连续函数，相应于区间[,]的任一分法T：t0t1i0,1,2,tn，得到C上一组分点x(t),y(t),Pi((ti),(ti)),n,设依次连接各分点Pi所得内接折线的长为L(T)，如果对于[,]的一切分

T划T，{L(T)}成一有界数集，则称C为可求长的，并称其上确界LsupL(T)为C之长.现在来研究连续弧可求长的充要条件.首先，折线长

L(T){((ti)(ti1)2((ti)(ti1)}

i1n122由于

|(t)(tii1ni1)|和|(ti)(ti1)|都

i1n{((ti)(ti1)((ti)(ti1)}

2i1nn122|(ti)(ti1)||(ti)(ti1)|

i1i1n所以{L(T)}有界分划T，{|(t)(tii1ni1)|}及{|(ti)(ti1)|}均为有界数

i1n第3页（共8页）安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案

集.2 有界变差函数

设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组Pax0x1bnbbxnb,a称V(f,P)|f(xi)f(xi1)|为f(x)对分点组P的变差，称V(f)sup{V(f,P):Pai1a为[a,b]的分点组} 为f(x)在[a,b]的全变差.若V(f)，则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数.ab注：(1)闭区间上的单调函数一定是有界变差函数.因为对于分划P，V(f,P)|f(xi)f(xi1)||f(b)f(a)|

ai1bn所以

V(f)|f(b)f(a)|

01(2)连续函数不一定是有界变差函数

x(0,1]xcos如： f(x) 2xx00对[0,1]取分划T:

1则

112n2n1n111, 32n1V(f,T)|f(xi)f(xi1)| 0i1i1i1从而V(f)，故f(x)不为[a,b]上的有界变差函数.013 Jordan分解定理

定理 f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个非负单调不减函数的差.即

f(x)f1(x)f2(x)

其中

1xf1(x)（V(f)f(x)|f(a)|）

2a1xf2(x)（V(f)f(x)|f(a)|）

2a注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数的不连续点为一可数集，故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数.第4页（共8页）安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案

推论：设f(x)为[a,b]上的有界变差函数，则（1）f(x)在[a,b]上几乎处处存在导数f'(x)；（2）f'(x)在[a,b]上可积.——————————————————————————————

作业：P175

练习题证明函数

2x0xcos f(x)x0x0为区间[0,1]上的有界变差函数.2 试证函数f(x)在[a,b]上为有界变差函数的充要条件是，存在一个单调增加的函数(x)，使对任意的ax1x2b有不等式成立

f(x2)f(x1)(x2)(x1).3设是一实数，函数

1xsinf(x)x0x00x1

当取什么值时，f(x)是[0,1]上的有界变差函数.§3 不定积分

教学目的1、理解绝对连续函数定义与性质，以及它与有界变差函数的关系.2、领会L积分意义下的牛顿一莱布尼兹公式，掌握绝对连续函数与不定积分之间的关系.本节要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式.本节难点 绝对连续函数概念的理解及L积分意义下的牛顿一莱布尼兹公式.授课时数 2学时

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一、不定积分

第5页（共8页）安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案

定义：（不定积分）设f(x)在[a,b]上L可积，则[a,b]上的函数F(x)（C为任一常数）称为f(x)的一个不定积分.因为

xaf(t)dtCF(x)(L)f(t)dt(L)f(t)dt(L)f(t)dt

aaaxxx不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数（是有界变差函数）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？

二、绝对连续函数

设F(x)是[a,b]上的有限函数，若0,0,使对[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间(ai,bi)(i1,2，n)当(biai)时有|F(bi)F(ai)|

i=1i1nn则称F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.注：绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数.定理1 若f(x)在[a,b]上的可积函数，则F(x)

xaf(t)dtC为绝对连续函数.三、Lebesgue不定积分与微分的关系

定理2 若F(x)在[a,b]上绝对连续，则(L)xaF'(t)dtF(x)F(a)

xd((L)f(t)dt)f(x)a.e.于[a,b].定理3 若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则

adx推论

F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当存在[a,b]上的可积函数f(x)，使 F(x)f(t)dtCax

四、L积分的分部积分法

定理4 设f(x)在[a,b]上绝对连续函数，(x)在[a,b]上可积且

g(x)g(a)(t)dt，则f(x)g'(x)dxf(x)g(x)|bag(x)f'(x)dx

aaaxbb证明略.——————————————————————————————

作业：P175 3，4，5，6

练习题

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1讨论函数

1xsinf(x)x0x0当0时的有界变差性，绝对连续性.0x1

2若f(x)在[a,b]上为绝对连续函数，且几乎处处存在非负导数，则f(x)为增函数.§

4、斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分

教学目的 了解黎曼-斯蒂尔切斯积分概念及性质，了解勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念.本节要点 黎曼-斯蒂尔切斯积分、勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念.本节难点 黎曼-斯蒂尔切斯积分、勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念.授课时数 2学时

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黎曼-斯蒂尔切斯积分也称斯蒂尔切斯积分，是黎曼积分的一种推广.通常利用黎曼积分可以计算几何形体的面积、体积，物理和力学中的功、能，物体的重心及转动惯量以及更一般的矩等等.如果考虑[a,b]上分布的一些质量对[a,b]外某点c的矩，一般可以用黎曼积分来计算.但是，当质量的分布没有密度函数时，黎曼积分就失效了.因此，斯蒂尔切斯积分应运而生.20世纪以后，斯蒂尔切斯积分获得了广泛的应用.随着黎曼积分发展为勒贝格积分，斯蒂尔杰斯积分也发展成为勒贝格－斯蒂尔切斯积分.一、黎曼-斯蒂尔切斯积分

定义（S积分）设f(x),(x)为[a,b]上的有限函数，对[a,b]作一分划

ax0x1x2“介点” i[xi,xi1](i1,2,xnb及属于此分划的任一组

n)作和数（叫做Stieltjes和数）

f()((xii0n1i1)(xi))

如果当(T)0时，这和数总趋于一确定的有限极限（不论T如何分法，也不论介点取法如何），则称f(x)在[a,b]上关于(x)为S可积分的，此极限叫做f(x)在[a,b]上关于(x)的S积分，记为

baf(x)d(x).第7页（共8页）安庆师范学院数学与计算科学学院《实变函数》电子教案

注：当(x)xc（c为常数）时，这个积分就是f(x)的黎曼积分.可见S积分是R积分的一种推广.定理1（1）（2）ba[f1(x)f2(x)]d(x)f1(x)d(x)f2(x)d(x);

aabbbaf(x)d(1(x)2(x))f(x)d1(x)f(x)d2(x);

aabb（3）设k,l为常数，则（4）设acb，则

abakf(x)d(l(x))klf(x)d(x)

abbf(x)d(x)f(x)d(x)f(x)d(x)

accb

二、勒贝格－斯蒂尔切斯测度与积分

设(x)为定义在R上的有限增函数，对任何开区间I(x,x')，称(x')(x)为区间I的“权”，记为I(x')(x).定义1（LS外测度）对任一点集ER，非负实数inf*函数(x)的LS外测度，记为mE

11EIii1i1|Ii|称为E关于分布显然,当(x)x时, LS外测度便成为L外测度.LS外测度与L外测度有相同的基本性质.11定义2(LS可测集及测度)设ER,满足以下条件:对任何TR,总有

**mTm(TE)m(TEc)

*则称E为关于(x)的LS可测集,而mE称为E关于(x)的测度,记为mE.有了LS可测集及测度之后,我们可以在它的基础上完全平行的建立相当于L可测函数和积分的LS可测函数和LS积分的概念和相关理论.以上所述的LS测度和LS积分可以推广到R中,这里就不再多说了.——————————————————————————————

n*作业：P175 9

练习题试证：如果用“确界式”定义S积分，则不与原来的积分等价.2 试证：如果改变增函数(x)在(,)上不连续点的函数值（仍成一增函数）.不影响由它确定的LS测度.第8页（共8页）

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