不等式解法(郑春明)_方程与不等式解法

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有关对称不等式的浅显探究

对称不等式（对称不等式即为循环不等式或轮换不等式）若把第一个变量换成第二个变量，第二个变量换成第三个变量，依此类推，最后一个变量换成第一个变量，这样得到的不等式与原不等式相同，则这个不等式叫做轮换对称不等式．在本文我们把具有这样性质的不等式成为对称不等式。此类不等式形式千姿百态，证法灵活多变。纵观国内外数学奥林匹克中的不等式试题，有不少试题是关于a,b,c的对称或轮换对称的不等式，因此本文对含有三个变量的情况进行浅显的总结。本文分为三个方法分别是循环证前提假设法、均值不等式证明法以及巧设配偶因子法。

一、循环证前提假设法

由于不等式其特点是将式中的变量按照某种次序循环变形后,仍与原式相同，因此可以用有关循环对称的方法对不等式的证明,由其本质特征所决定,除课本上所举常用方法外,还有其特有的循环证法。它的特点是,将问题的整体证明转化为部份证明,在实现部份证明后,根据“循环对称”的规律,“同理”推证其它类似部份,而将诸同向不等式相加(或相乘),最后进行简单的代数处理,即完成其证题的全过程。作为此种证法关键的“由整体剖为部份”的转化,在其逻辑形式上是很得体的。

例1：a、b、c是一个任意三角形的三边长，证明：

a(bca)b(cab)c(abc)3abc.22

2分析：题目为一对称不等式，首先我们不妨将其化简成含a、b、c和或差的形式，由于它的对称性我们可以不失一般性的假定a、b、c的大小从而解决问题。再次观察不等式左边为三个字母的立方和，与他们积的三倍，这样可以说每个立方分到一个abc，所以不妨先比较一部分的大小，剩下的部分再进行比较大小。

【证】不妨设abc.3abca2(bca)b2(cab)c2(abc)

=a(ab)(ac)b(bc)(ba)c(ca)(cb)

b(bc)(ba)c(ca)(cb)

c(cb)[(ca)(ba)]

=c(cb)0

例2：证明：对于正数a、b、c，下述不等式成立：

2333abc3abcab(ab)bc(bc)ac(ac)

【证】不是一般性，可假设abc.那么

c(ac)(bc)0，(ab)(abc)02

322从而cabcacbc(2)

ab2abcab(ab)acbc

3322

(3)

(2)、(3)两式相加即得(1)式.例3：已知x,y,z为正实数，求证：

思路分析：这就是一道较复杂的轮换对称不等式。利用例1的思路，我们将之拆分为三个只有两个字母的较简单的“小”不等式。由于左侧式子每一部分都只含有两个字母，要将右侧也拆分成三个相应的式子，我们可以将原不等式两边同时乘以2，便得到以下的证明过程：

以上三式相加可得原命题为真.abc

3例4：设a、b、c为正实数，证明：abc(abc)

分析：此题仍为对称不等式，考虑到a、b、c均为正数故在不等式两边同时除以abc的三分

a

b

c

之（a+b+c）来化简，这步很容易想到，由此不等式等价转化为a解决问题。

【证】不是一般性可以假定abc0.原不等式即a

2abc

2abc

b

2bac

c

2cab

1，接下来利用本文上面所提到的不失一般性，假定a、b、c的大小关系，将其进一步放缩从而

b

2bac

c

2cab

1(1)

由2abc0，得a

b

2abc

b

2bac

b

2abc

b

2bac

b

ab2c

ab2c

c

2cab

所以，(1)左端立.bc

ab2c



1，其中，当且仅当abc时，等号成评：循环论证的方法在对称不等式的证明有着很大的帮助，这种思维方法,对于数学各分支类似的不等式(乃至等式)的证明,均有启示。

二、均值不等式证明法

一些具有轮换对称性的不等式的求证，可以利用均值不等式的方法来进行证明。先将不等式化简变形。然后对不等式进行放缩从而的证。例:5：已知a、b、c、d是任意正数，求证：

a

bc

a



bcdbcd



cdacda



dabd



2【证】bc



ab

a(da)c(bc)

=

(bc)(da)



b(ab)d(cd)(cd)(ab)

(1)

由平均值不等式，(abcd)



(bc)(da)

(abcd)

(abcd)

即

(bc)(da)

同理

(cd)(ab)





4(abcadbcadcd)

(abcd)

所以(1)式右边

(abcd)(ac)(bd)

(abcd)

2

=

(a)

a(bc)

abc

【别证】(2)

2a(bc)2ab2ac2ad2bc2bd2cd2(cabd)2ab2ac2ad2bc2bd2cdacbd=

(abc)

(abcd)

(3)

(2)(3)即得结论.例6：设a、b、c是非负数，证明：【证】

(abc)

abcbcacab

(abc)(bca)(cab)

212

(abca)

(bcab)

(cabc)

=

2abc2bca2cab(abcbaccab)=3(abcbcacab)

所以原不等式成立。评：当然用平均值不等式来证明轮换分式不等式时，并不要求其求和号中各项分母那样只与限制条件有关。从变形后的平均值不等式可以看出，只要所证不等式经变形后，其求和的各项分母求和为常数，且各项分子相同，都可以用平均值不等式来证明。

三、巧设配偶因子法

轮换对称不等式的证明问题，可通过巧构待定配偶式并运用均值不等式的方法进行证明．该证法可操作性强易于掌握，现结合典型例题介绍如下．

例5 已知，求证：．

证明：设，则所证不等式可化为，进而变为，再令，则且，所证不等式变为，分离常数得．

构造，则此不等式等号成立的条件是，即．又易知所证不等式等号成立的条件是，此时，所以，即，同理可得，将

这三个不等式相加得，又，所以，故原不等式成立．

评：本题充分利用轮换对称不等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明．其中设配偶式求配偶因子是该证法的关键一步和核心部分．

本文根据对称不等式具有很好的对称性，所以本文根据其不等式性质主要循环证法、均值定理巧设配偶因子法三种方法然后利用放缩配方的进行思考。希望能够对解决这一类问题有所帮助。

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