换元法及其应用_换元法的应用

2020-02-27 其他范文下载本文

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换元法及其应用

高一（2）班（C3）张宇

绪论：目的在于总结数学解题方法，灵活运用换元法解题。

（一）选题引入

【例一】

其中(>1),则

【分析】

一般得求出的值域比较容易，但当的自变量也是一个函数的时候求其值域相对比较困难，这时候换元法就大派用场了。

【解】求的值域，首先要求出的表达式。的值域是_______。

函数一般我们习惯还是用

【例二】解不等式：来表示，所以要把换成。

【分析】

这是包含对数函数的不等式，一般地对数函数或指数函数写起来都比较麻烦，当在一个等式或不等式中对数或指数出现次数很多的时候，一般可以考虑用换元法，把对数或指数换掉，这样可以简化计算的中间过程，减少因为写错写漏而引起的错误。

【解】原不等式可以化为：

即，以2为底的对数函数是增函数。，以2为底的指数函数是增函数。

变量代换的一个共同的特点是：尽可能让外表结构简单明白，尽可能将新鲜的问题转化到熟悉的老问题中去。换元法关键的一步是变量代换，如何选择，如何代换直接影响计算的复杂度，甚至影响到能否解决问题。

（二）选题概述

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

（三）选题分类

1、局部换元

又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2、三角换元

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝√1-X^2值域时，若x∈[-1,1]，设x＝sin α，sinα∈[-1,1 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

3、均值换元

如遇到x＋y＝2S形式时，设x＝ S＋t，y＝ S－t等等。

（四）换元法典型题归纳

1、整体换元

求函数ysinxcosxsinxcosx的最大值.t21.• 解：设tsinxcosx(2y2),•则sinxcosx

2t211y当t2•时,•故yt(t1)21.•222、三角换元求函数yx5x2的值域.解：令xmax12.25sin,•[,],• 2

2

4).则ysin|cos|sin5cossin(

因为

所以22，

443.4所以2sin()1，得sin() 424

所以函数的值域为[,].3、比值换元