高考数学解析几何最值问题常用技巧分式函数值域问题分类导析_分式函数求值域问题

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分式函数值域问题分类导析

求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决解析几何有关最值问题的一个重要工具．本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题进行分类研究，运用初等方法给出解决方法． p(x)首先我们给出分式函数的定义：形如f(x)的函数叫做分式函q(x)

数，其中p(x)、q(x)是既约整式且q(x)的次数不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次数不超过二次的分式函数进行分类讨论．

1.一次分式函数

p(x)、q(x)的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数，即形如axbf(x),xA,c0的函数． cxd

一次分式函数值域的通常求法是逆求法，即改写成xf1(y)，由于xA，则f1(y)A，解出y的取值范围，即函数f(x)的值域．

2x3例1． 求函数y，x[3,8]的值域． x

22y32y38，解得解：改写成x，因为x[3,8]，所以3y2y2

1919y9，即原函数的值域是[,9]． 66

２．二次分式函数

p(x)、q(x)至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数，ax2bxc,xA,a、d不全为零的函数． 即形如f(x)2dxexf

若A=，则可采用根的判别式法求值域． ｛x|dx2exf0｝

x24x

5例２．求函数y2的值域．

x4x

4解：化为关于x的方程(y1)x24(y1)x4y50．若ｙ＝１，则方程无解，即y1．因为xR，所以0，解得y1，即原函数的值域是（1,）．

若A，则再分类讨论． ｛x|dx2exf0｝2.1．形如f(x)

c，xA,d0且c0的函数．

2dxexf

先利用二次函数的性质求出分母的值域，再利用复合函数的单调性求出函数f(x)的值域．

例３．求函数f(x),x[3,5]的值域． 2

x2x

3解：令g(x)x22x3(x1)24,x[3,5]，1

1则g(x)[4,12]，所以函数f(x)的值域是(,][,)．

412

bxc

2.2．形如f(x)2，xA,d0且b0(*)

dxexf

ax2bxc

或f(x)，xA,a0且e0的分式函数．

exf

下面就形式(*)讨论解法．

b

2.2.1．若ｃ＝０，则分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要讨论

fdxe

x

f

函数g(x)dx,xA且x0的值域．

x

不妨设d0．若f0，则函数g(x)在(,0)和(0,)上分别是增函数；若f0，则函数g(x)在(0,ff]和[,0)上分别是减函数，在dd

ff

]上分别是增函数．这样利用函数g(x)的单调性，先[,)和(,dd

求出g(x)的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x,x[1,)的值域． 2

x2x414,x1．令g(x)x,x1，则g(x)4，所以解：f(x)

4xx2x1

函数f(x)的值域是(0,]．

6例４．求函数f(x)

2.2.2．若c0，则换元，令tbxc，转化为２.２.1．形式的分式函数．

x1

例５．求函数f(x)2,x(1,3)的值域．

x2x3

t1

,t(0,4)． 解：令tx1，则y2

4t4

tt

因为t(,3)，所以函数f(x)的值域是(,0)(,)．

t3

ax2bxc,xA,a0且d0的分式函数． 2.3．形如f(x)2

dxexf

2.3.1．若bc0或ef0，则分子分母同除以x，转化为求关于的x

二次函数的值域，从而求出函数f(x)的值域．

x21

例６．求函数f(x)2,x[,1]的值域．

x4x13111

,[1,3]．因为函数 解：f(x)

141x2

1(2)3x2xx

112

g(x)(2)3,[1,3]的值域是[3,2]，所以函数f(x)的值域是

xx

[,]． 23

2.3.2．若分子分母有一个是完全平方式，不妨设

a(xm)2

f(x)2,xA,a0且d0，则可令txm，转化为2.3.1

dxexf

形式的分式函数．

x24x4

例７．求函数f(x)2,x[1,0]的值域．

x4x5

t2111

解：令tx2，则y2,[,1]．因为

1t1t212

t

151412[,2]，所以函数f(x)的值域是[,]． t425

2.3.3．若都不是前两种形式的分式函数，则改写成部分分式，即

aeaf

(b)xca，转化为2.2形式的分式函数． f(x)ddx2exf

x24x5例８．求函数f(x)2,x[0,2]的值域．

x4x322

1,x[0,2]，解：f(x)12所以函数f(x)的2

x4x3(x2)1

值域是[

175,]． 153

3．分式函数值域在解析几何中的运用

解析几何的最值问题常常需要求分式函数的值域，掌握了前面的思想方

例９．已知直线l1：y4x与点P(6,4)l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及xl1在第一象限内围成的三角形面积最小．

解：设Q(x0,4x0)，直线PQ的方程

y4x6

是，直线PQ交x轴于点

4x04x06

5x0

A(,0)．根据题意

x01

10，111()2x024

x01，所以SOAQ

10x02115x0

|OA|yQ4x022x01x01

x01，当x02时，SOAQ的最小值为40，Q(2,8)．

此题的解法是将OAQ的面积S表示为Q的横坐标x0的分式函数，运用求分式函数值域的方法，从而求出面积的最小值．

例10．设F1、F2是椭圆3x22y26的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，试求△ABF2面积的最大值，并确定取得最大值时，AB弦的位置．

解：设AB弦所在的直线方程是

ykx1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

SABF

|F1F2||x1x2||x1x2|． 2

ykx1

由方程组2，消去y，2

3x2y6

得(2k3)x4kx40，则x1x221222

k32k3

4k2448(k21)22

SABF(x1x2)4x1x2(2)42，22

2k32k3(2k3)

令t2k23,t[3,)，SABF

24(t1)112111

24[()],0，2

tt24t3

SABF当t=3时，43

有最大值，此时k=0，即AB弦过焦点F1且平行于x轴．

此题的解法是将△ABF2面积的平方表示为k2的二次分式函数，从而求出最大值．

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