关于上下极限的一些问题_上下极限

关于上下极限的一些问题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“上下极限”。

关于上下极限的一些问题

利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。正确理解这个概念的

精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同

学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。

通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）

称为上下极限的确界定义。此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最

小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一

个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。

上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。

以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据

上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出

来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相

关的证明。

设序列{xn}，{yn}均有界，则下列结论成立。(i)若xnyn，nn0，则limxnlimyn，limxnlimyn。（保序性）

(ii)

limxnlimynlim(xnyn)lim(xnyn)limxnlimyn。(iii)lim(xn)limxn，lim(xn)limxn。

(iv)

若xn,yn0，则limxnlimynlim(xnyn)lim(xnyn)(limxn)(limyn)(v)

若极限limxn存在，则

nlim(xnyn)limxnlimyn，lim(xnyn)limxnlimyn

(vi)

若xn0，则lim1111，lim xnlimxnxnlimxnn(vii)

若xna0，且极限limxn存在，则 lim(xnyn)(limxn)(limyn)，lim(xnyn)(limxn)(limyn)。

以下四道题均涉及到序列极限的存在性。我们将利用上下极限的技术来证明极限的存

在性，以显示上下极限技术很给力。

题1.设数列{xn}满足0xnmxnxm，n,m1。证明极限limnxn存在。（这道题n与第一章总复习题题14第24页类似。）

注: 如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得

联系。这说明你真的很厉害。

证明：根据关系式 0xnmxnxm，我们容易得到

0xnnx1。这表明0xnxx1，n1，即序列n有界。因此其上下极限满足 nn0limxnxlimnx1。nn任意固定正整数m。则每个正整数n均可表为nkmr，其中0rm。仍根据0xnmxnxm，我们得 0xnkxmxr。因此限（关于指标n取）得

xnkxmxr。现在我们取上极nnnlimxnkxxlimmlimr。注意正整数m固定，数r虽然随着n在变化，但0rm。nnnkxmxk(nr)/mxmxmlimxmlim，并且limr0。nnnmn于是 lim这就得到对于任意固定的正整数m，我们得到

limxnxm。对这个不等式左边关于m取下极限得 nmxnxxxxlimm。这表明limnlimn。因此极限limn存在。证毕。

nnnmnn1，n1，a11确定。讨论数列{an}的收anlim题2：设数列{an}由递推关系式an11敛性。（这是课本的习题1.4题14，第19页）。

解：不难确定1an2，n1。利用性质(vi), 对关系式an111两边分别取上极限an和下极限，我们可以得到 liman111，liman1。记:liman，limanliman。由此得到1和1。从而有:liman，则有11，11。此即序列{an}的上下极限相等。因此它的极限存在。进一步可确定其极限值为二次方程21的正根0(15)/2。解答完毕。

注：当然可以用其他方法证明序列{an}极限的存在性。不难证明a2n1有上界0，a2n有下界0。因此它们均有极限。不难确定它们的极限值相等。细节略。

题3：利用上下极限技术，证明Stolz定理（/型）：考虑极限liman。假设bn严

nbn格，且极限limanan1a存在，记作l（这里允许l和l），则极限limnl。

nbbnbnn1nanan1l知，nbbnn1证明：以下只证明l为有限的情形。其它情形的证明类似。根据假设lim对于0，N0，使得

l于是 anan1l，nN。

bnbn1aN1aNl，bN1bNaN2aN1l，bN2bN1anan1l，nN。

bnbn1ll

l根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，lanaNl，nN。

bnbN将上式写作

anaNbbnlnl，nN。（*）

bN1bn由假设bn知，limaNb0，limN0。于不等式（*）分别取上极限和下极限nbnbnn得 llimanal，llimnl。由于上下极限均为确定的常数，且正数bnbnanallimn。这就证明了定理的结论。证毕。bnbn0可以任意小，因此必有lim题4：设两个序列{an}，{bn}由关系式bnan2an1 相联系。证明，若序列{bn}收敛，则序列{an}也收敛。

证明：我们将证明序列{an}的上下极限相等。为此，我们先证明序列{an}有界。由假设序列{bn}收敛知，序列{bn}有界。将关系式 bnan2an1写作an1(anbn)/2。这样不难由归纳法证明序列{an}有界。

记A:liman，A:liman，B:limbn。将关系式bnan2an1 写作

2an1bnan。（**）

对等式（**）分别取上下极限，并利用上下极限的性质(iii)和(v)，就得到

2ABA，2ABA。由此立刻得到AA。即序列{an}的上下极限相等。从而序列{an}收敛。证毕。

求极限注意的问题

求极限时应注意的问题：几个无理函数的极限：几个“”型的极限：几个含有三角函数的极限：几个幂指函数的极限：等价无穷小在极限中的应用： 极限存在准则在求极限中的应用： 极限中的变量......

极限

极限数列极限−定义$如果对于\forall\varepsilon > 0，\exists正整数N_\varepsilon，当n>N_\varepsilon时，恒有\mid x_n-a\mid <\varepsilon，则$注： • • • $不等式\mid......

垂直极限

是什么让人存活是什么让人存活道义总是在起着作用人完全是境界的东西有些人的境界一辈子也是改变不了的在现实的生活中不要苛求去改变别人 你是改变不了的唯一能做的就是谨......

极限岁月

极限岁月我是一个平凡的人，我的故事也是平凡的故事。很小的时候，我不知道什么叫优秀和平庸。但我，却打心里认为我跟别人不同。我不用努力学习，每次总是第一名。连我的嗅觉，我很远......

生命极限

谁为孩子的生命买单?少年儿童是这个社会的弱势群体，他们周围处处暗藏着危机!孩子是娇嫩的花苞，是祖国的未来，是早上初升起的太阳。有了孩子，家才算完整，有了孩子，家才更有生机，有了......