构造法_比较构造法
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内容摘要：
这几年的高考数学试题中，出现了求解型如“an+1=pan+ f(n)”的数列的通项公式的一类问题，本文针对这类数列问题，提出具体的解决方法，让读者能熟练掌握此类问题的解法，并能触类旁通。关键词：
通项公式 等比数列 等差数列 待定系数法 正文：
这类问题的模型是题中出现了下面形式的条件:
an+1=pan+f(n)(Ⅰ)(目的：求{an}的通项公式)
其中p是已知常数；f(n)是关于n的已知代数式，类似等比数列或等差数列的通项公式；an+
1、an是待求数列。
我们的目的是借用待定系数法，将（Ⅰ）式化成下列形式： an+1+cn+1=p(an+cn)(Ⅱ)
其中cn+
1、cn待定。此时{an+cn}构成等比数列，进一步可求出{an}的通项公式。具体方法如下：
方法
一、当f(n)类似等比数列的通项公式：
由(Ⅱ)式得：an+1=pan+pcn-cn+1;对比(Ⅰ)式，得:pcn-cn+1=f(n)(Ⅲ)设cn=kf(n),cn+1=kf(n+1)(其中k为待求常数)，代入(Ⅲ)式，得pkf(n)-kf(n+1)=f(n);
这时p为已知常数，f(n)是已知代数式，可求出k的值；我们得到了cn、cn+1；从而达到了我们的目的。
例题1：2008年四川高考20题
设数列{an}的前 项和为sn，已知ban-2n=(b-1)sn(其中b是常数)；(1)证明：当b＝2时，{an-n2n-1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式； 在(2)问求an的通项公式过程中，我们可以利用本文的方法。『解』：ban-2n=(b-1)sn
ban+1-2n+1=(b-1)sn+1
两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1
即an+1=ban+2n(1)（将2n看作f(n)，则可用方法一）设an+1+cn+1=b(an+cn)(2)an+1=ban+bcn-cn+1
对比(1)式，得bcn-cn+1=2n(3)
nn+1设cn=k2,cn+1=k2;代入(3)式得： bk2n-k2n+1=2n 即k(b-2)=1
至此我们可以进一步求出{an}的通项公式。例题2：2008年全国高考二20题
设数列{an}的前 项和为sn．已知a1=a,an+1=sn+3n，(Ⅰ)设bn=sn-3n，求数列{bn}的通项公式。
『解』：sn+1-sn=an+1=sn+3n
sn+1=2sn+3n(1)（将3n看作f(n),则可用方法一）设sn+1+cn+1=2(sn+cn)(2)
则sn+1=2sn+2cn-cn+1；从而2cn-cn+1=3n(3);设cn=k3n,cn+1=k3n+1;代入(3)式，可得k=-1;∴cn=-3n,cn+1=-3n+1;
(2)式变为sn+1-3n+1=2(sn-3n)；至此我们可求出数列{bn}的通项公式。例题3：2008年广东高考21题
『解』：在(2)问求{xn}的通项公式过程中，我们试着利用本文的方法。
条件an+1=pan+ f(n)中, f(n)是解题的关键,方法一中的f(n)还可以是带系数和常数项的,类似等比数列的通项公式,感兴趣的读者可以尝试做下题: 已知数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2×3n-1,求{an}的通项公式。(提示:可设cn=k3n-m,其中k,m为待求常数)方法
二、当f(n)类似等差数列的通项公式：
条件an+1=pan+ f(n)中已知f(n)=nd+m, 其中d,m是已知常数。解题过程类似方法一：
由(Ⅲ)式pcn-pcn+1= f(n)得:pcn-cn+1=nd+m(Ⅳ)设cn=kn+r,cn+1=k(n+1)+r(其中k,r是待求常数)； 代入(Ⅳ)式整理得：k(p-1)n+(pr-k-r)= nd+m;对比两个式子可得k(p-1)=d;且p,d为已知常数，可求出k的值；
进而由pr-k-r=m可得r的值，从而我们得到了cn、cn+1，达到了我们的目的。例题4：2007年天津文科20题
在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1,(1)证明数列{an-n}是等比数列。
『解』:设an+1+cn+1=4(an+cn),即an+1=4an+4cn-cn+1;对比条件an+1=4an-3n+1,得： 4cn-cn+1=-3n+1(*)设cn=kn+r,cn+1=k(n+1)+r；代入(*)式整理得：3kn+(3r-k)=-3n+1 ∴3k=-3,3r-k=1;解得k=-1,r=0； ∴cn=-n,cn+1=-(n+1)代入an+1+cn+1=4(an+cn)得：an+1-(n+1)=4(an-n)；从而{an-n}是首项为a1-1=1,公比为4的等比数列。
条件an+1=pan+ f(n)中f(n)的变化会带来不同的设元解题过程。比如：当f(n)变成一常数b时，我们可采用常见的待定系数法，设an+1+k=p(an+k)，整理后得pk-k=b(p,b为已知常数)，可求出k值，从而{an+k}是公比为p的等比数列，进而可求出{an}的通项公式。
比如:当f(n)是cqn+dn+m（c、q、d、m为已知常数）的形式时,我们可以综合方法
一、方法二来求解。
以上是本人通过研究近年的高考数列题得出的一些心得体会，希望能对大家有所帮助。参考文献：
1、2008年高考分类题选
2、《高等代数》 邱森 武汉大学出版社
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