10专升本《高等数学》高分实战技术_高等数学专升本第二章

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专升本《高等数学》高分实战技术

焦作大学 王 岗

冲刺：试卷分析第一阶段

题目分类

一、已知知识点明确的题目；

二、有疑问的题目；

三、不会的；

四、错题：（1）笔误和审题错误；（2）原则错误。试卷分析第二阶段：

一、分析试卷题目针对的各部分的知识点，突出重要点；

二、分析知识点的基本题型结构及解决方法；

三、题目结构变化、延伸。

试卷分析第三阶段：重复以上工作形成基本成熟的知识体系和解答试题的方法思想。试卷分析第四阶段：强化和提高竞技状态。试卷分析第五阶段：回顾放松、培养自信心。基本中心：

四大运算结构：

1、函数结构运算；

2、极限运算；

3、导数、微分运算；

4、积分运算。

经典语言：对哪一个函数关于哪一个变量在做什么运算。概念题分析

一、函数与极限的考点

1、函数结构（定义域与函数值）

2、函数性质：主要奇偶性。

3、无穷小量：

4、常见极限结论：

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

一、函数与极限

1、函数结构（定义域与函数值）：

（1）具体解析式：以对数函数、无理根式、反三角函数为基础组合题目；（2）抽象式：

1、已知f(x)求f[(x)]的。

2、已知f[(x)]求f(x)的。例、设f(1x)的定义域为1,5，则f(x)的定义域为________（3）发展延伸：

1、积分函数[(x)](x)af(t)dt

x2、导函数若 例f(e)1x,则 f(x)

x令te,xlntf(t)1lnt，即f(x)1lnx，故f(x)xlnxc

(1)n3、幂级数的和函数值 例e2 nn0n!2

12、函数性质：主要奇偶性。

axax(a0)偶 f(x)ln(1xx)奇 f(x)22axaxf(x)(a0)奇 f(x)(x)(x)偶

2f(x)(x)(x)奇 f(x)ln3、无穷小量：

（1）常见的等价无穷小量

ax(a0)奇 ax1(x))~(x)当x0时(x)0 当x0时 ln(1x)~xln(x当x0时e1~x;当x0时1cosx~12x.2当x0时tanxsinx~131x;当x0时xsinx~x3 26当x0时1x1x~x

(x)ln(13x2)3x2（2）lim 例limlim23

x0(x)22x0x0x1x1x注意：（1）有限个不同阶的无穷小量之和取其弱。（2）有限个不同阶的无穷大量之和取其强。例: 当x0时,x1cosx与x是()A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小

4、常见极限结论：（要注意延伸变化）sinx111 limxsin1 limnsin1

x0xnxxnsinx1sinn0 limxsin0 lim0 limxx0nxxn（1）lim lim(x)sinx010 (x)bcbcbcxdb)ea lim(1)cndea

（2）lim(1xnaxan（3）lima，limx01xxaxaxa，limx0sinxx，不存在；limax01x20,(a1)。

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

（1）间断点分类；（2）几个常利用的函数

f(x)xx1x，f(x)xaxa，f(x)sinxx1x2，f(x)arctan(xa)

x2a2f(x)a1a11x主要利用lima及limax01xx0(a1)结论。

二、导数与微分的考点

1、定义式

2、可导与连续

3、导数的几何意义：

4、参数方程与隐函数的导数

5、高阶导数：

二、导数与微分

1、定义式 定义limh0f(x0ah)f(x0bh)abf(x0)

chc 定义limxx0f(x)f(x0)f(x0)

xx0f(x)x(xa1)(xa2)(xan)求f(ai)

2、可导与连续

常用的几个函数结构

1kxsin（1）f(x)x0（3）f(x)x0x0；（2）f(x)x

1x1xln(1x)1x0x0

(x)x0,其中当x0时(x)~(x)则f(x)在x0处连续且可导。f(x)(x)x0.

3、导数的几何意义：求切线方程和法线方程，确定一些函数值。（可导函数的极值点必为驻点f(x)0）

4、参数方程与隐函数的导数（1）参数方程二阶导

xx(t)xx(t)d2ydyy(t)2 dxyy(t)dxx(x)要注意dydx还是 dxdy（2）幂指结构

yu(x)v(x)dyv(x)u(x)v(x)1u(x)v(x)u(x)v(x)lnu(x)dx5、高阶导数：（1）常用的结论

注意f(n)(x)[f(axb)](n)anf(n)(axb)例(sin(3x2))(n)

三、中值定理与导数应用的考点

1、中值定理

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。

3、渐近线

三、中值定理与导数应用

1、中值定理

（1）选定满足定理条件的函数题型；

（2）求满足定理条件的值的题型 即求f(x)0；及f(x)f(b)f(a)的根。

ba（3）零点定理及方程根的问题

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。（1）、基本定理题目。（2）极限局部保号性

limxaf(x)f(a)b则有b0f(x)f(a),xa为极小值点f(a)为极小值，2(xa)则有b0f(x)f(a),xa为极大值点f(a)为极大值。（3）类似结构可判定增减、凹凸

limf(x)f(x)blimb

xa(xa)2xa(xa)2（3）单调性应用

例 设f(a)g(a)，且当xa时，f(x)g(x)，则当xa必有（）

例 已知函数fx在区间1,1内具有二阶导数，fx严格单调减少，且f1f11，则 有(A)在1,1和1,1内均有fxx(B)在1,1和1,1内均有fxx(C)在1,1内fxx，在1,1内fxx(D)在1,1内fxx，在1,1内fxx3、渐近线

水平渐近线limf(x)A,yA为水平渐近线；limf(x)，xx0为垂直渐近线

xxx0xe曲线f(x)既有水平又有垂直渐近线？ 曲线f(x)ex(x1)的水平及垂直渐近线

x11x21 曲线y1xx2的铅锤渐近线是

四、不定积分与定积分的考点

1、被积函数与原函数的关系

2、定积分概念、性质

3、广义积分

1、被积函数与原函数的关系即

F(x)f(t)dt,F[(x)],f(x),f(x)

f[(x)]之间关系。既已知什么求什么。f[(x)],例 设f(x)连续且不等于零，若

f(x)dxarctanxc，dxx32则(1x)dxxc

f(x)3注意已知f(x)dxF(x)C求(x)f[(x)]dxF[(x)]C题型

x例 若f(x)e，则f(lnx)dxf(lnx)celnxcxc x2、定积分概念、性质（1）对称区间上的定积分 例11x2ln(x21x)dx0； (x9x2)2dx29dx

2022（2）变上限积分

(x)f(t)dt是f(x)的一个原函数即(x)f(x)

ax[(x)](x)af(t)dt((x)af(t)dt)([(x)])[(x)](x)f[(x)](x)((x)h(x)f(t)dt)f[(x)](x)f[h(x)]h(x)

例已知ex2af(t)dttanexf(x)

2积分上限函数构成的微分方程要注意内含的初始条件问题。例：已知连续函数f(x)满足f(x)e（3）定积分的几何意义

2xtf()dt，求f(x)033xaa122sinxdxnaxdxa  0222n（4）积分性质：估值定理结合最值 M(ba)baf(x)dxm(ba)

(5)平均值：

3、广义积分

几个重要结论（1）baf(x)dxba

1p1时收敛1 dx0p1时发散xpp1时收敛11。特别注意dx是发散的。dx2p2(lnx)x(lnx)0p1时发散（2）2（3）1p1时收敛1 dx(a0,b0)pabx0p1时发散akxdx,(a1)k0时收敛（4）0（5）b0p1时发散1。dxpx0p1时收敛（6）注意对应的级数有相同的敛散性。

五、空间解析几何部分的考点

1、数量积、向量积概念、向量积几何意义。

2、直线与直线、直线与平面等位置关系

x2yz50x1y0z2直线与直线的位置关系（）不平行也不垂直 3352xyz604443、方程所表示的曲面：主要是二次曲面注意三个方向x0y，xoz，yoz4、投影曲线方程22zxy空间曲线C：在xoy平面上的投影曲线方程_______________ 22z2(xy)

六、偏导数与全微分的考点

1.偏导数概念

2、极限、连续、偏导与全微分的关系

3、求偏导数与全微分的值

注意利用偏导数几何意义 即fx(x,b)为zf(x,y)zf(x,y)关于x求导 ； fy(a,y)为关于y求导。

ybxa例设f(x,y)2x(y3)arctanx2则fx(1,3)_______ yf(x,3)2xfx(x,3)2fx(1,3)24、二元极值部分（1）驻点（2）极值点七、二重积分部分的考点 重在正确分析积分区域

即（1）正确读出D的代数信息；（2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息；（4）写出累次积分；（5）计算结果。

1、交换积分次序

2、直角坐标与极坐标的相互转化

（1）x2y2a202

0ra（2）xy2ax22

0r2acos22（3）x2y22ay0

0r2asin例20d02sin0f(rcos,rsin)rdr

22yy20020d2sinf(rcos,rsin)rdrdyf(x,y)dx2、曲线积分

（1）对弧长曲线积分

（2）.对坐标的曲线积分

与路径无关的条件即

LP(x,y)dxQ(x,y)dy中有

PQ yx 7 (x2,y2)(x1,y1)P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y1)dxQ(x2,y)dy

x1y1x2y2（3）面积问题 s

八、级数部分的考点

1、常数项级数（1）收敛定义 1xdyydx,L为正向一周 L2（2）收敛必要条件limun0，一定要注意以limn10为基础的敛散性的划分。nn（3）一般级数：收+收=收； 收+散=散； 散+散=不一定

2、正项级数

（1）几个常用结论

p1收敛p1收敛11 p；  p0p1发散0p1发散nn(lnn)n1n2p1收敛1。(a0,b0)pn1abn0p1发散11 发散ln(1)2n(lnn)n1n2

（2）以nk,an(a1),n!,nn组合为通项题型。

ann!(a0),(1)0ae收敛(2)ae发散 nn1n（3）非常规的要善于利用n时通项an~1的结论判断。nk111例ln(12)(1cos)(sin)

nnnn1n1n1n（4）绝对收敛、条件收敛

3、幂级数

（1）幂级数的收敛半径、收敛区间 P(n)xR1,(1,1)； nn0P(n)nxRa,(a,a)。nn0a1P(n)n 例：(x1)n(xb)Ra,(ba,ba)n2nn0an0(3n2n)5P(n)anxnRn0111,(,)aaa 8 P(n)an(xb)nRn0111,(b,b)aaa（2）幂级数的展开式：

（3）幂级数的和函数

1(1)n2n3例

e2n(lnn)n!3n2n0

2九、微分方程部分的考点

1、方程类型

2、已知方程求通解或解。选择以验证为主。

3、已知通解或解求方程。

二阶常系数线性齐次方程为例

（1）yC1e1xC2e2xy(12)y12y0

（2）y(C1xC2)exy2y2y0（3）yex(CcosxCsinx)y2y(22)y04、二阶常系数线性非齐次方程特解问题

例 通解为yC1cos2xC2sin2x2x的二阶常系数线性非齐次方程为

y4y8x将yx代入y4yf(x)f(x)8x

3x例设yy(x)是二阶常系数线性非齐次方程y2yye满足条件

y(0)0,y(0)0的解，则limx0x0x02x0sintdty(x)___

limy(x)lim(e3x2y(x)y(x))1

计算题分析

一、求极限：以幂指函数及洛必塔法则结合等价无穷小为主。

二、求导数与微分

三、求不定积分：以分部积分为主。

四、定积分：以换元和分区间题型为主。

五、多元复合偏导及全微分

例 若zf(xy,)g()且f,g可微，求xyyxzz,.xy解：令uxy,vxy,w,则zf(u,v)g(w)yx9 zf(u,v)uf(u,v)vdg(w)w1yyyfufv2g()xuxvxdwxyxx六、二重积分：

1、重在正确分析积分区域 即（1）正确读出D的代数信息；

（2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息；

（4）写出累次积分；

（5）计算结果。

2、注意被积函数中出现

sinycosyy2y2;;e;e;siny2;cosy2,一般采用y型积分函数。yy3、注意x型积分区域及y型积分区域的特点，既垂直线和水平线。

七、展开成幂级数、求收敛区间;方法以不变应万变 an0nxanxn,unanxn nn0un1an1xn1an1limlimlimxx nunaxnnannnx1收敛即x1，R1，(11,)

(2n)!2n14n1n1n2nn例

1、nx2、3、4、x(x3)x222(n!)3n2nn1n0n0n0几个重要结论

11n（1）x,x1;（2）(1)nxn,x1;

1xn01xn0nxn1n1x（3）ln(1x)(1)(1),x1;n1nn0n1n1xnn2nx（4）(1)x,x1;（5）e,x(,)21xn0n0n!2nx2n1nx（5）sinx(1),x(,)（7）cosx(1),x(,)(2n1)!(2n)!n0n0nxxn1xnn（8）nx,x1;（9）ln(1x),x1;2n(1x)n1n0n1n1 10 注意F(x),f(x),f(x)F[(x)],f[(x)],f[(x)]应用。例将函数f(x)1展开成x的幂级数，并写出收敛区间。212x3x11313nn1()3x(1)nxn 解：f(x)2413x1x12x3x4n04n03n1(1)nn11 []x;x(,)

433n0

八、求微分方程的通解：以一阶线性非齐次方程为主。注意深度变形

1、常规的一阶线性非齐次方程。

2、x,y角色互换类型。

3、积分变限函数类型（注意隐藏的初始条件）。

4、缺y的可降阶为一阶线性非齐次方程的。例yy1xex降阶ppxex xx应用题分析

一、求面积及旋转体的体积（几何问题）二、一元函数求最值、多元函数求最值（几何问题、简单经济问题）证明题分析：

等式、不等式、方程根、积分等式、变上限函数的奇偶性的讨论、中值定理等。尤以中值定理要注意利用微分方程解构造辅助函数。

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