第15讲第三章习题课_第三章习题课含答案

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《量子力学》教案

林洁丽

第三章 矩阵力学（I）

量子力学中的力学量（习题课）

一、算符在量子力学中的意义。

1．证明厄米算符的本征值为实数。见讲义。2．证明力学量在任意态中的平均值为实数。

解：设已归一化，则

ˆdxF*F ˆdx(Fˆ)*dx*F ˆdx)*(Fˆ)*dxF*(*F ˆdxF*F.所以力学量F在任意态中的平均值为实数。

ˆ的ˆLˆMˆ-MˆLˆ1，求证：若为kˆMˆ，且L3．若kˆ也是kˆ本征函数，对应的本征值为，则vM的本征函数，对应的本征值为1。

ˆ的本征函数，对应的本征值为，证：为kˆ kˆMˆ-MˆLˆ1 MˆLˆLˆMˆ-1 又Lˆ ˆLˆMˆ，vM且kˆvkˆMˆLˆMˆMˆMˆLˆ1Mˆk ˆˆˆˆˆˆˆMLMMMkvMv1vˆ也是kˆ的本征函数，对应的本征（练习：证uL值为1）

ˆukˆLˆLˆMˆLˆLˆLˆMˆ-1kˆ-LˆLˆMˆ-Lˆkˆ-1Lˆ-1u Lˆ的本征函数，相应的本征值为1。u为k第1页 《量子力学》教案

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二、对易子的计算：

dx，e1． 求。dxˆ,Pˆ]iPˆ 2． 求证[Lzxyˆ,Pˆ]＝iPˆxˆ；Lˆˆˆ3． 求证[Lxyz-xLziy。z

1．解：设x为任一波函数，则

d-xdxxdxeeee

dxdxdxd-xxdxxdxdeeeee 而dx dxdxdxdd-xxxd-x，eeee 即= dxdxdxˆxPˆ-yPˆ（要记忆）2．证：L

ˆPˆ-PˆLˆxPˆ-yPˆPˆ-PˆxPˆ-yPˆ ˆ,Pˆ]L [Lzyyzyxxxyxzx2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆxPP-yP yxx-PxxPyPxyPx PxyyPx

2ˆ2ˆˆˆˆˆxPP-PxPyP yxxyx-Px

ˆPˆ-PˆxPˆxˆ-PˆxˆiPˆ ˆˆPP xPyxxyxxyy

三、作业评讲（黑板）

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四、补充例题：

1．设t0时，氢原子体系处于(r,0)211(r)

3321(r)的状态中，式中nlm为氢原子的定态波

函数，求任意时刻t体系的态函数(r,t)。

解：一般解为定态波函数的线性迭加：

iEnt-(r,t)Cnn(r)e

(r,t)为含时薛定谔方程（式）的解，故(r,t)描n述状态随时间t变化的规律，因此，本题的解：(r,t)211(r)ei-E2t(3)321(r)eiE3t

444eseses 其中 E2222282，E3182

 {注意：(r,0)未归一化，因而(r,t)也未归一化，但本题无此要求。} 2.质量为m的粒子处于0xa的一维无限深势阱中的基态，设阱壁xa突然运动至x2a。求这时粒子仍处于基态的几率。

解：在0xa无限深势阱中，粒子的基态是2x1xsin（0xa）。［公式要记住!］ aa在0x2a无限深势阱中，本征波函数（基矢）1nπx为nxasin2a(0x2a)本题的关键是理解：当xa突然运动至x2a时粒子的状态(即波函数)仍处于1x所描述的状态之中（因为态的变化需要时间）。

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x0,xa0 x2x即：sin 0xa aa用nx展开ψx，即 ψxCnnx，则Cnn2就是(由ψx态描写的粒子处于nx态的几率。而

2ππ*C11ψdxsinx sinx dx a02aa02π3πcosxcosxdx2a02a2aa1aπ3π3πx42 π12cosxdx-cosxd2a2a3π02a2a3ππ0aaa所求几率为 C123292。

五、讨论的主题：

1．测不准关系意味着物理学什么也不能决定吗？（并不是）

其实，不论位置也好、动量也好，若牺牲它们之间的相互关系的话，是完全可以准确测定的。测不准关系并不意味着物理学什么也不能准确测定，而是表示在原理上相互间测定受到限制这一事实。

可是，如果孔变小，则电子就容易碰到孔的边缘。如果碰到孔壁上，由于电子的一部分动量消耗在孔壁上，就会是电子的速度发生改变，而且，因为孔壁是固定的，所以不能从对孔壁的作

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用而得知有多少电子的动量发生变化。为了把孔变小来准确地测定位置，那就要牺牲速度的精确性。

那么，如果把装置改一下，把孔壁改成活动式的，通过测定电子给孔壁的动量来确定电子的速度的话，又将会怎样呢？根据动量确实是可以求得速度的。但是，壁每动一次，孔也动一次，这样，电子通过的位置就又不清楚了。为了准确地测定电子的速度，这一下子，位置就测不准了。结果，由于不能同时确定地知道孔穴附近的电子的位置和速度，所以也就不能够说清是在底片上的哪一个点上成像的。也就是说，电子的位置和速度是两个不能同时准确测定的量。更确切说：电子的位置和动量是有着测不准的关系。最初发现这个事实的是海森堡，他用假想的实验来表示这个测不准关系。

在量子力学中，将原理上可测定的量称为可观测量。位置、时间、动量、能量等都是可观测量。可以认为，不论哪一个量，刻度尺或钟表都可以用仪表的指针来表示它们的值。

所以在某一个实验中，假如靠仪表读出可观测量中的一个值，那么，也可同时确定另一个可观测量的值。这无论对哪一组来说，都是适用的。例如，对电子的位置和动量也是这样。可是，再重复一次这个相同的实验时，对于同一个可观测量来说，可能得到相同的值；但对于另一个可观测量来说，有可能得到和前一次不同的第5页 《量子力学》教案

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值。反复实验无论进行多少次都是这样。这就是说，这两个量相互有着测不准的关系。

不论是位置还是动量，每一个值都是以单个实验来确定的。然而，这种相同的实验不论反复进行多少次，假如说，若位置得到相同的位置则动量就不一定能取得和前几次完全相同的值。象这样的可观测量，不论出现多少也是不足为奇的。

说得确切一些，量子力学对于种种的量，决不是“不决定”，而是相对的“测不准”。这就是打开电子的“粒子”和“波”的二象性秘密的钥匙。

我们再来研究电子射线通过小孔的问题。由于小孔附近电子的位置和动量不能同时确定，所以对电子在底片上的哪一个点成像也就不清楚。但，我们不能因此就说对底片上的像是完全无知的。假如把单个电子象波那样来考虑在底片上预先标好位置，然后，用多个电子进行实验，则能得到和标记相同的衍射图样。

这就象掷（zhi）股子一样，如果这股子不是骗人的话，是不会知道倒出来的谷子是哪一个“点儿”朝上的。如果统计一下出现的次数，即使开始时是无规律的，然而，若增加掷的次数，就会看出谷子上的这六个“点儿”出现的次数是大致相同的。

把掷的单个股子出现的情况统计一下，发现不论

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哪个“点儿”都分配到六分之一的次数。这就是所谓的几率的概念。实际上，几率不是表示掷股子时将出现的“点儿”，但如果增加掷的次数，它决不是没有意义的。实际上，某一特定“点儿”出现的次数极接近于几率跟掷的总次数的乘积这个数值，所以至少可以提出某种预想。而且，实际上如果考虑到掷的次数很多的情况下，它会有非常可靠的规律性的。

通过小孔的电子，在小孔的附近的位置和动量这两个量中的一个或两个作为不准确的结果，会出现种种可能性。因为在电子射线中有无数的电子，能够估计得到的可能性，必然可以由某些电子来实现。即，考虑每个电子的可能几率是十分有意义的了。如果，按照你预想的那样在底片上，能画出每一点的命中几率图的话，那么，在实际的照片上就确实得到象图那样的图像来。

对股子来说，可简单地认为不论哪个“点儿”出现的几率都是1/6，而对电子来说，则有些稍微复杂的程序，这个程序就是用薛定谔的电子波动方程式。在此所得到的称为“波函数”，而这个波函数的平方是同几率有关系的。

也就是说，量子力学的理论基础是数学上所说的几率。

2．测不准的测定方法

德布罗意和薛定谔所设想的那种电子波，实际是不存在的。然而，为了确定电子在什么地方存在的可能性（即所谓的几率），而引进了电子波

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这个不可缺少的概念。当电子射线穿过小孔时，若按照旧的理论，则只考虑以底板上的一点为中心，离中心愈远，点就愈少那样的分布图，可是，考虑到每个电子不准确的因素，以几率来表示电子的动向，那么，实际的衍射波可用数学推导出来。

如果为了测量小孔附近电子的位置，使装置上的小孔缩小，又为了想知道电子的动量，将装置做成可移动的壁，则在底片上得到的衍射图样是不一样的。如果测量位置的话，则动量成为测不准的结果，所导出的是波的图像；若知道动量，则因位置成为测不准，也能导出波的图像。这些都是解薛定谔方程的条件。

解薛定谔方程根据条件的不同，得到的结果也不同。这么说，即使不说明方程式的复杂程序，也可以想象得出条件和答案之间是密切相关的。这样就可以不用几率平方这个量或者波函数这个数学上的术语，而使用“状态”这个术语更为合适些。也就是说，电子在给定的条件下，具有一定的状态，这种说法更好一些。

位置或动量随便哪一个如果确定的话，则另一个就确定不下来，但是，确定不下来的那一个的几率分布，却能够确定。这种情况，用状态表示是很相称的。例如，当位置确定时，可以这样说：决定电子位置的状态是完全确定下来了。尽管量子力学在本质上含有测不准的性质，可是把它用状态这个概念来表示的话，就可以这样说：

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状态是可以确定的。

为了要知道电子的位置，而使小孔缩小的实验中，尽管不知道电子的动量，但可以准确求出用几率来表示的波。因此就可以说成是已知电子位置的状态被确定了。为了测定动量而将壁做成可移动的实验中，就可以说成是已知电子动量的状态被确定了。

前面提过，不一定限于位置和动量，原则上凡是能测定的量都可叫做可观测量。不论对哪一个可观测量都可确定其测定状态，但这和测定其它可观测量的状态不一定是一致的。两个可观测量也可能会决定完全不同类型的状态。例如，在用位置和动量来表示有测不准关系的可观测量就是如此。但是对没有测不准关系的可观测量，因为所确定的状态是一致的，所以为了进一步正确地表征状态，可利用更多的各项知识。因此，象这样的可观测量收集得越多，当然就越能准确、详细地确定状态了。

结论：量子力学不单是主张测不准的关系，而且又抓住了另一个确定性的东西，那就是“状态”，就是说，互不干扰的可观测量收集得越多，就越能准确地确定它。

3．振子几率图说明：

振子的两端多，中间少。这是因为在中间附近摆动得快，所以被照相机拍下的机会就要少的缘故。

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但是，对于像电子那样必须用量子力学的情况，答案是完全不同的。假定振子服从量子力学的规律，首先，在能量最低的状态时，在中心附近的几率最大，越往两端就越小。其次，能量在较高的状态时，中心附近的几率却完全没有，而在离开中心的地方又增大。更高的能量，也和这个相似，但几率小的地方和几率大的地方交替出现。能量越高，这种交替变化就越显著，最后就密集一堆了。因此，若从远处来看，这部分恰好和小石子的摆动次数的分布，大体上一致。也就是说，在能量高的场合下，经典力学与量子力学的答案是一致的。这就是玻尔在创建量子力学所利用的桥梁。然而，在能量低的场合下就完全不同了。

原子的情况也是如此，如果按经典电磁学来看，电子就会掉到原子核上，现在若不考虑这点，打开照相机的快门。于是，电子就应该在原子里面均匀分布。然而，量子力学的答案却不是那样。能量在最低的时候，电子在中心附近的几率是均匀的，但能量若一增大，则几率就会形成高低的圈。而且，麻烦的事还夹杂着有的地方几率多，有的地方几率少这样凹凸不平的分布。可是，这时在能量大的场合下，高低和凹凸并不明显，恰恰跟前面讲过的涂黑部分的结果接近。即是跟经典物理学的答案相似。

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六、讨论：为什么要用算子？

量子力学里力学量（可观察量）是用线性厄米算符表示的。之所以要这样做，是与量子力学对象的波粒二象性以及特殊的描写方式紧密相关的。由于作为几率波振幅的波函数包含了有关体系的全部信息，因此我们需要有一种方法从波函数那里提取出各种信息来，而能够整体地把握住某种性质的抽象办法之一是采用算符。

由于力学量代表物理性质，它的值直接地与实验挂钩，因此必须满足一定的要求，诸如测量值是实数，不同态的无关性（正交性）、一切物理态的完备性以及态的叠加性等，这使得我们必须用线性的、厄米的算符来代表力学量。

物理上，力学量作用在体系的状态上，是一种作用，一种行动，一种操作，一种仪器；响应的在数学上就是线性厄米算符作用在波函数上，或这算符是Hilbert态空间中的一个变换（在连续情形下，是无穷小变换为生成元）。

所以量子力学里代表力学量的线性厄米算符的基本性质是：

+Â=Â，Â(α|1>+β|2>)=αÂ|1>+βÂ|2>，Â|fn>=fn|fn>，Â|λ>=λ|λ>，fn*=fn，λ*=λ，=δnm，=0，∑n|fn|>

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这些就是厄密性、线性、本征值的示性、不同本征态的正交性及全部本征态的完备性的数学表述。

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