概率论章节总结_概率统计各章节总结

2020-02-28 其他工作总结下载本文

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第一章考核内容小结种类相加，步骤相乘排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。的计算公式为：

排列数

例如：

（四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。

=45 例如：

组合数有性质

（1）例如：，（2），（3）

（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生-------（3）A，B，C三事件都不发生--------（5）A，B，C三事件只有一个发生--------

（2）A，B，C三事件都发生-------ABC

（4）A，B，C三事件不全发生---------

（6）A，B，C三事件中至少有一个发生-------A+B+C（1）A，B都发生且C不发生

（2）A与B至少有一个发生而且C不发生

简记AB+AC+BC

简记

（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生）（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生）（7）A，B，C中最多有两个发生

（一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式

计算简单的古典概型的概率

（二）知道事件的四种关系

（1）包含：表示事件A发生则事件B必发生

（2）相等：

（3）互斥：与B互斥

（4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω

（三）知道事件的四种运算

（1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生性质：（1）若，则A+B=A（2）且

（2）事件积（交）AB表示A与B都发生，则AB=B∴ΩB=B且

性质：（1）若

（2）

（3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生

∴

（4）

性质

，且A-B=A-AB 表示A不发生

（四）运算关系的规律

（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）

（3）A（B+C）=AB+AC叫分配律（A+B）（A+C）=A+BC

叫对偶律

（4）

（五）掌握概率的计算公式

（1）P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

特别情形①A与B互斥时：P（A+B）=P（A）+P（B）

②A与B独立时：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

③

推广P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

（2）

推广：

因为，而，而BA与明显不相容。

特别地，若所以当

，则有AB=A

当事件独立时，P（AB）=P（A）P（B）

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

P（ABCD）=P（A）P（B）P（C）P（D）

与B，A与，与

均独立

性质若A与B独立

（六）熟记全概率公式的条件和结论

若A1，A2，A3是Ω的划分，则有

简单情形

熟记贝叶斯公式

若已知，则

（七）熟记贝努利重复试验概型的计算公式

第二章考核内容小结

（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率

（1）若X是离散型随机变量，则 P（a

（2）若X是连续型随机变量，则

P（a

P（a≤x＜b）=F（b）-F（a）

°P{X≤b}=F(b).P（a

°P{X>b}=1-P{X≤b}=1-F(b)

（二）知道离散型随机变量的分布律

会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

则

（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律

（1）X～（0,1）

P（x=k）=

（2）X～B（n,p）

（3）X～P（λ）P（x=k）=

并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np

（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性质

①f（x）≥0

②

（2）分布函数和概率密度的关系

（3）分布函数的性质 ①F（x）连续，可导

②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1 ③F（x）是不减函数。（4）概率计算公式：

①P（a

②P（a

（五）掌握连续型随机变量的三种分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F（x）=（3）X～N（0,1）

①X～

②X～

性质：Φ（-x）=1-Φ（x）P（a

①X～

②P（a

（六）会用公式法求随机变量X的函数Y＝g（x）的分布函数

（1）离散型

若

且g（x1）,g（x2）, …g（xn）不相同时，有

（2）连续型

若X～fX（x）,y=g（x）单调，有反函数x=h（y）且y的取值范围为（α,β），则随机变

量X的函数Y=g（x）的概率密度为

当α=－∞β=+∞时，则有

简单情形，若Y＝ax+b则有

Y～fY（y）=

在简单情形下会用公式法求Y＝ax+b的概率密度。

（3）重要结论

（i）若X～N（μ,σ2），则有Y＝ax+b时 Y～N（aμ+b,a2σ2）

（ii）若X～N（μ,σ2），则有Y＝

叫X的标准化随机变量。

第三章内容小结

（一）知道二维随机变量的分布函数的概念和性质。（1）（X，Y）～F（X,Y）=P（X≤X,Y≤Y）

=P（-∞＜X≤X,-∞＜Y≤Y）（2）F（X,Y）的性质（ⅰ）F（+∞，+∞）=1（ⅱ）F（-∞，Y）=0，F（X，-∞）=0 F（-∞，-∞）=0（3）X～FX（X）=F（X,+ ∞）

Y～FY（Y）=F（+∞,Y）

（二）离散型二维随机变量（1）（X，Y）的分布律

性质

（2）X的边缘分布

证明 P1·=P11+P12+…P1N，P2·=P21+P22+…P2N，… pm·=pm1+pm2+…pmn

（3）Y的分布律

证 P·1=P11+P21+…pm1，P·2=P21+P22+…pm2，… P·N= P1N+P2N+…+pmn

（4）X，Y独立的充要条件是：

X，Y独立P（X=xi,Y=yj）=P（X=xi）P（Y=yj）

（i=1,2,…,M；j=1,2,…,N）判断离散性随机变量X，Y是否独立。

（5）会求 Z=X+Y的分布律

（三）二维连续型随机变量（1）若

已知 f（X,Y）时，会用上式求F（X,Y）

性质

（2）

已知F（X,Y）时，会用上式求f（X,Y）

（3）会用公式

求（X，Y）在区域D上取值的概率。

（4）会用公式

分别求X，Y的概率密度（边缘密度）（5）会根据X，Y独立判断连续型随机变量X，Y的独立性。（6）知道两个重要的二维连续随机变量 ①（X，Y）在D上服从均匀分布

S是D的面积

X，Y独立（7）若X，Y独立，且

则

第四章小结

本章的考核内容是

（一）知道随机变量的期望的定义和计算公式，性质。

（1）离散型：

（2）连续型：

（3）

（4）

期望的性质：（1）E C=C（2）E（kX）=kEX（3）E（X±Y）=EX±EY（4）X,Y独立时，E（XY）＝（EX）（EY）

（二）知道方差的概念和计算公式以及方差的性质

∴X是离散型随机变量时

X是连续型随机变量时

（2）计算公式

（3）性质

①DC＝0

②

③D（X±Y）=DX+DY±2E[(X-EX)(Y-EY)]

=DX+DY±2Cov(X,Y)

∴X,Y独立X,Y不相关时D(X±Y)=DX+DY

Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

计算公式Cov(X,Y)=E(XY)－(EX)(EY)

相关系数

定理X，Y独立

X，Y不相关（）

特别情形X，Y正态，则有

X，Y独立X，Y不相关

第五章考核要求

（一）知道切比雪夫不等式

或

并且会用切比雪夫不等式估计事件|X-EX|≥ε或|X-EX|

（二）知道贝努利大数定律

其中n是试验次数，m是A发生次数，p是A的概率，它说明试验次数很多时，频率近似于概率。

（三）知道切比雪夫不等式大数定律

它说明在大量试验中，随机变量

（四）知道独立同分布中心极限定理

取值稳定在期望附近。

若

记Yn～Fn（x），则有

它说明当n很大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态N（nμ,nσ2）所以，无论n个独立同分布的X1,X2,…Xn服从何种分布，n很大时，X1+X2+…Xn却近似正态N（nμ,nσ2）.（五）知道棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

若Zn表示n次独立重复事件发生次数，即

Zn～B（n,p）,则有

即Zn近似正态N（np,np（1-p）2）。并会用中心极限定理计算简单应用问题。

第六章章小结

本章的基本要求是

（一）知道总体、样本、简单样本和统计量的概念

（二）知道统计量和s2的下列性质。

E（s2）=σ2

（三）若x的分布函数为F（x），分布函数为f（x），则样本（x1,x2,…xn）的联合分布函数为F（x1）F（x2）…F（xn）样本（x1,x2,…xn）的联合分布密度为f（x1）f（x2）…f（xn），样本（x1,x2,…xn）的概率函数，p（x1,x 2 ,…xn）=p（X=x1）p（X=x2）…p（X=xn）因而顺序统计量x（1），…x（n）中

X（1）的分布函数为1-（1-F（x））n

X（n）的分布函数为[F（x）]n

（四）掌握正态总体的抽样分布

若X～N（μ，σ2）则有

（1）

（2）

（3）

（4）若

当时。

（五）知道样本原点矩与样本中心矩的概念

第七章章小结

本章考核要求为