高数积分总结_高数积分方法总结

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高数积分总结

一、不定积分

1、不定积分的概念也性质

定义1：如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一xI,都有

F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数。定义2：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或者f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作

f(x)dx。

性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx。

性质2：设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则

kf(x)dxkf(x)dx。

2、换元积分法(1)第一类换元法：

定理1：设f(u)具有原函数，(x)可导，则有换元公式

f[(x)]'(x)dx[f()d]

(x)。例：求2cos2xdx

解 2cos2xdxcos2x2dxcos2x(2x)'dxcosd 将2x代入，既得

2cos2xdxsin2xC

(2)第二类换元法：

定理2：设x(t)是单调的、可导的函数，并且'(t)0.又设f[(t)]'(t)具有原函数，则有换元公式

f(x)dx[f[(t)]'(t)dt]1其中(x)是x(t)的反函数。

t1(x),例：求dxxa22(a0)

22解

∵1tantsect，设xtantt，那么

22x2a2a2a2tan2ta1tan2tasect,dxasec2tdt，于是

asec2tdtsectdt 22asectxadx∴∵sect∴dxdxxa22lnsecttantC

x2a2，且secttant0 aCln(xx2a2)C，CClna 1122xxalnaax2a2

3、分部积分法

定义：设函数(x)及(x)具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为

'''

移项得

'()''

对这个等式两边求不定积分，得

'dx'dx

此公式为分部积分公式。例：求xcosxdx 解 xcosxdxxsinxsinxdx

∴xcosxdxxsinxcosxC 分部积分的顺序：反对幂三指。

4、有理函数的积分 例：求x1dx 2x5x62解

∵x5x6(x3)(x2)，故设

x1AB

x25x6x3x2其中A,B为待定系数。上式两端去分母后，得

x1A(x2)B(x3)

即

x1(AB)x2A3B

比较上式两端同次幂的系数，既有

AB1 2A3B1从而解得

A4,B3 于是

x134dx4lnx33lnx2C x25x6dxx3x2其他有些函数可以化做有理函数。

5、积分表的查询

二、定积分

1、定积分的定义和性质

（1）定义：设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点

ax0x1x2xn1xnb

把区间a,b分成n个小区间

x0,x1,x1,x2,,xn1,xn

各个小区间的长度依次为

x1x1x0,x2x2x1,,xnxnxn1

在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi，作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xii1,2,,n，并作出和

Sf(i)xi

i1n记maxx1,x2,,xn，如果不论对a,b怎么划分，也不论在小区间xi1,xi上点i怎么选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数(简称积分)，记作

f(x)在区间a,b上的定积分

baf(x)dx，即

n其中变量，baf(x)dxIlimf(i)xi

0i1f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。

f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)定理1：设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2：设在a,b上可积。（2）性质1：

性质2：f(x)g(x)dxabbaf(x)dxg(x)dx

abkf(x)dxkabbaf(x)dx

(k是常数)

性质3：设acb，则

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb

性质4：如果在区间a,b上f(x)1，则

1dxdxba

aabb

性质5：如果在区间a,b上，f(x)0，则

babaf(x)dx0ab

推论1：如果在区间a,b上，f(x)g(x)，则

f(x)dxg(x)dxab

ab

推论2：

baf(x)dxf(x)dx(ab)

ab

性质6：设M及m分别是函数最小值，则

f(x)在区间a,b上的最大值和m(ba)f(x)dxM(ba)(ab)

ab

性质7(定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一个点，使下式成立

baf(x)dxf()(ba)(ab)

2、微积分基本公式(1)积分上限函数及其导数

定理1：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数

xf(t)dt

ax在a,b上可导，并且它的导数

dx'(x)f(t)dtf(x)(axb)adx定理2：如果函数f(x)在区间a,b上连续，则函数

(x)f(t)dt

ax就是f(x)在区间a,b上的一个原函数。

f(x)在区间a,b上的一个原函(2)牛顿-莱布尼茨公式

定理3：如果函数F(x)是连续函数数，则

(1)定积分的换元法 定理： 假设函数(α)=a,(β)=b;

baf(x)dxF(b)F(a)

3、定积分的换元法和分部积分法

f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=(t)满足条件: (t)在[α,β]上具有连续导数，且其值域R=[a,b],则有

baf(x)dxf[(t)](t)dt'

(1)公式(1)叫做定积分的换元公式(2)定积分的分部积分法

依据不定积分的分部积分法，可得

uvdx[uv]vdu'aba

三、反常积分

（一）无穷限的反常积分 bab

定义1 设函数法f(x)在区间[a,)上连续，取t>a,如果极限

limttaf(x)dx

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,)上的反常积分，即

af(x)dxlimttaf(x)dx

（二）无界函数的反常积分

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的丅点。取t>a,如果极限

limtbatf(x)dx

b存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分，仍然记作a即

f(x)dx，例题 讨论反常积分baf(x)dx=

limtbatf(x)dx

11dxx的收敛性。21解：被积函数（fx）=x在积分区间[-1,1]上除x=0外连续，且由于

2limx01x2

即反常积分

0dx1x21lim()1xx0

0dx1x2发散，所以反常积分

1dx1x2发散

定积分abfxdx的积分区间a，b是有限区间，又fx在a，b上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或fx推广到无界函数，就是两种不同类型的反常积分：

1.无穷区间上的反常积分（1）概念 定义：afxdxlimfxdxbab

fxdx若极限存在，则称反常积分a是收敛的，它的值就是极

是发散的，而发散的限值；若极限不存在，则称反常积分反常积分没有值的概念.afxdxbfxdxlimfxdxaab

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念.fxdxfxdxccfxdx

limfxdxlimfxdxaabccb

同样有收敛和发散的概念，收敛的反常积分有值的概念，值得注意：判断要求cfxdx的收敛性不能用

fxdxRRlimRfxdx的极限存在性.必须

fxdx和c两个反常积分都收敛，才能知道fxdx是收敛的，但是如果已经知道么计算RRlimRfxdx是收敛的，而求它的值，那fxdx是可以的.（2）常用公式 11, p1收敛，dxp1xp p1发散，dxx(lnx)p1e1, p1收敛，dup1up p1发散，a收敛(＞0）xkexdx发散(0），(k0）

2.无界函数的反常积分（瑕积分）（1）概念： ①设bafxlimfx[a，b)xb在内连续，且，则称b为fx的瑕点，boafxdxlim定义

fxdx

b若极限存在，则称反常积分a若极限不存在，则称反常积分a的概念.②设fxbbfxdx收敛，且它的值就是极限值.fxdx发散，发散的反常积分没有值

limfx(a，b]x在内连续，且a，则称a为fx的瑕点，b0afxdxlim定义afxdx

b若极限存在，则称反常积分abfxdx收敛，且它的值就是极限值，fxdx若极限不存在，则称反常积分发散，它没有值.a③设的瑕点，fxlimfx[a，c)(c，b]在和皆连续，且xC，则称c为fx定义cbC1acbafxdxfxdxfxdxlim10afxdxlim20bC2fxdx

(值得注意：这里判别收敛性时，1和2要独立地取极限，不能都0用来代替)

fxdx若上面两个极限都存在时才称反常积分是收敛的，否则

ab反常积分abfxdx发散.dx收敛(q＜1时）0xq发散(q1时）1（2）常用公式：1

1dxdxqq0x1）类似地考虑（和1x

最后指出：由于反常积分是变限积分的极限，因此原则上由定积分的运算法则和极限的运算法则就可以得到反常积分的运算法则.(乙)典型例题

一、用常规方法计算定积分 【例1】 求下列定积分（1）0（3）02x2cosxdx（2）0

223xarctanxdx

ln2ex1dx2解（1）02xcosxdx=xdsinxxsinx02xsinxdx00222222

＝2xdcosx2xcosx02cosxdx00 ＝42sinx042

（2）3013x213x232xarctanxdxarctanxdxarctanx0dx2002221x

3131arctan31dx2021x ＝2＝2123arctanx032312322332

（3）令dxex1t,xlnt21

2tdt,x02t1时t0；xln2时，t1

于是ln2012t21e1dx2dt21dt20t101t x112[tarctant]0214 ＝【例2】 计算下列定积分（分段函数）（1）1（3）231x23xdx（2）

0e1elnxdx

min1,x2dx1解（1）1（2）＝x23xdx11x23xdxx23xdx30e11

e1elnxdx1lnxdxlnxdxe

xlnxx1xlnxx1211ee1e

3（3）32min1,x2dxdxx2dxdx21111113

二、用特殊方法计算定积分 【例1】 计算下列定积分

（1）I20f(sinx)dxf(sinx)f(cosx)

（f为连续函数，f(sinx)f(cosx)0）

（2）I4ln(1tanx)dx0

解（1）令x=p-t2，则

I20f(cost)dt,2I2dt,I0f(cost)f(sint)24

（2）令0x=p-t4，则

21tant4Iln1d(t)lndt01tant1tant4

＝4ln2I,2I4ln2,I8ln2

fxlnxfxdx1e【例2】 设连续函数fx满足e，求1efxdx

解 fxdxA令，则fxlnxA，1两边从1到e进行积分，得

e1fxdxlnxdxAdx(xlnxx)1A(e1)11eee

于是

Ae(e1)A(e1),eA1,Ae1e

则

1fxdx1e

三、递推公式形式的定积分 【例1】

设

Insinnxdxn01，2，20

求证当n2时，求In 解

（1）

Inn1In2n

Insin2n10xdcosxsin2n1xcosxcosxdsinn1x2200

n1cosxsin20n2xdxn11sin2xsinn2xdx20

n1In2n1In

nInn1In22，则

2Inn1In2n2n

2（2）I0dx0，I1sinxdx10

当n2k，正偶数时，InI2k2k12k12k3I2k2　　2k2k2k21　I02

2k!2k!　　2k　　22k22k!22k!

2I13 当n2k1，正奇数时，InI2k12k2k2k2I2k1　　2k12k12k122k!k22kk!　　2k1!2k1!2

2【例2】 设

Jncosnxdxn01，2，0，2，，求证：JnInn01

2xt，Jncostdtsinntdt0222证

令

0n1，2，n0，则

JnIn 【例3】 设求证：KnKntan2nxdx n1，2，3，40

1Kn12n1

2，3，n1，求Kn

解（1）Kntan42n10xsec2x1dxxdtanxKn1

（2）tan42n10

41Kn12n1

242K1tanxdx　secx1dx00

4tanxx 140

，

111K21，K3134534

当n3，正整数时

Kn1n41n1k1n112k1k2

四、重积分

（一）二重积分的性质与概念

定义：设D是错误！未找到引用源。面上的有界闭区域，错误！未找到引用源。在D上有界，将区域D任意分成n个小闭区域错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。既表示第i个小闭区域又表示它的面积，在每个小区域错误！未找到引用源。上任意取一点错误！未找到引用源。，作n个乘积错误！未找到引用源。，然后作和式

记错误！未找到引用源。，如当错误！未找到引用源。时，以上和式有确定的极限，则称该极限为错误！未找到引用源。在区域D上的二重积分，记作错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，即

其中错误！未找到引用源。称为被积函数，错误！未找到引用源。称为被积表达式，错误！未找到引用源。称为面积元素，错误！未找到引用源。称为积分变量，D称为积分区域，错误！未找到引用源。称为积分和式 几何意义

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于以区域D为底，曲面错误！未找到引用源。为顶的曲顶柱体体积；

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于以上所说的曲顶柱体体积的相反数；

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。等于区域D的面积。

1.二重积分的性质

存在性：若错误！未找到引用源。在有界闭区域D上连续，则错误！未找到引用源。存在 线性性质：

区域可加性

设错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。只在它们的边界上相交，则：

有序性

若在区域D上错误！未找到引用源。，则有：

特殊地，有

估值不等式

设错误！未找到引用源。在区域D上有最大值M，最小值m，错误！未找到引用源。是D的面积，则有：

积分中值定理

设函数错误！未找到引用源。在有界闭区域D上连续，错误！未找到引用源。是D的面积，则至少存在一点错误！未找到引用源。，使

错误！未找到引用源。

例1 试用二重积分表示极限错误！未找到引用源。.解：错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.例2 估计错误！未找到引用源。的值，其中错误！未找到引用源。解：因为错误！未找到引用源。，积分区域错误！未找到引用源。，在D上错误！未找到引用源。的最大值错误！未找到引用源。，最小值错误！未找到引用源。，故:

（二）二重积分的计算

（一）直角坐标系 X型区域

将区域D投影到x轴上，投影区间为错误！未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则D表示为：

y型区域

将区域D投影到y轴上，投影区间为错误！未找到引用源。，D的边界上下两条曲线错误！未找到引用源。，则D表示为：

例1 计算所围成的闭区域。解：，其中D是由直线错误！未找到引用源。

（三）二重积分的计算

（二）极坐标系

极点在D外，则D:

极点在D的边界上，则D:

极点在D内：

例1 计算错误！未找到引用源。，其中D为由圆错误！未找到引用源。及直线错误！未找到引用源。所围成的平面闭区域 解： 因为

所以

五、曲面和曲线积分

（一）对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）

1、定义

nn Lf(x,y)dslim0f(,)s，iiii1 f(x,y,z)dslimf(i,i,i)si

0i

12、物理意义 线密度为(x,y)的曲线L质量为M L(x,y)ds

线密度为f(x,y,z)的曲线质量为M f(x,y,z)ds3、几何意义 曲线L的弧长s Lds，曲线的弧长s ds4、若L：f(x,y)k（常数），则 Lf(x,y)ds Lkdsk Ldsks5、计算（上限大于下限）（1） L:x(t),y(t),22 tX，则 Lf(x,y)dsf(t),(t)(t)(t)dt

（2）L：y(x)（3）L：x(y)则f(x,y(x0xX)，)ds[f,x()]x1Lx0Y()2xdx

2()y.dy

(y0yY)，则f(x,y)dsf[(),y]y1Ly0（4）:x(t),y(t),z(t).(t)，则 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt()

(二)、对坐标的曲线积分

1、定义

 LP(x,y)dxQ(x,y)dylim0P(,)xiii1niQ(i,i)yi

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzlim0P(,,iii1ni)xiQ(i,i,i)yiR(i,i,i)zi

2、计算（下限对应起点，上限对应终点）（1）L:x(t),y(t),t:，则

（LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

2）baL：

y(x)t:x0Xt:y0Y，则LPdxQdy{Px[xQ,xx(xdx)

（3）dcL：

x(y)，则LPdxQdy{Py[yy(Qy)ydy,（4）:x(t),y(t),z(t).(t:)，则

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt



3、两类曲线积分之间的联系

LPdxQdy(PcosQcos)ds

L(x,y),(x,y)为有向曲线弧L上点(x,y)处的切线向量的方向角。其中，PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)ds，其中(x,y,z),(x,y,z),(x,y,z)为有向曲线弧上点(x,y,z)处切向量的方向角。

(三)、格林公式及其应用

1、格林公式 个边界曲线

2、平面上曲线积分与路径无关的条件（D为单连通区域）(DQP)dxdyPdxQdy 其中L是D的取正向的整Lxy定理 设D是单连通闭区域，若P(x,y),Q(x,y)在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

(i)沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有LPdxQdy0；

(ii)对D内任一光滑曲线L，曲线积分LPdxQdy与路径无关，只与L的起点和终点有关；(iii)PdxQdy是D内某一函数u(x,y)的全微分，即在D内有duPdxQd；y

(iv)在D内处处成立

注 若(x,y)(x0,y0)PQ yxPQxDyx 则

PdxQdy的全微分u(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy：

xyx0y0u(x,y)P(x,y0)dxQ(x,y)dyu(x,y)Q(x0,y)dyP(x,y)dx

y0x0yx

或

(四)、对面积的曲面积分

1、定义

f(,,)S f(x,y,z)dSlim0iiiii1n2、物理意义： f(x,y,z)dS表示面密度为f(x,y,z)的光滑曲面的质量。

3、几何意义

曲面的面积SdS



4、若：f(x,y,z)k（常数），则f(x,y,z)dS=kdS=kdS=kS



5、计算（一投、二代、三换元）（S1）D:zz(x,y)，(x,y)Dxy，则

f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))（2）Dxz221zxzydxdy

:yy(x,z)22，(x,z)Dxz，则f(x,y,z)dSf[x,y(x,z),z]1y;xyzdxdz：xx(y,z)（3）Dyz，(y,z)Dyz，则f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]221xyxzdydz。(五)、对坐标的曲面积分

1、定义

R(,,)(S)R(x,y,z)dxdylim0iiii1nixy

P(,,)(S)P(x,y,z)dydzlim0iiiii1nyzQ(,,)(S)Q(x,y,z)dzdxlim0iiiizxi1n2、物理意义

流量P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy。

P(x,y,z)cosQ(x,y,z)cosR(x,y,z)cosdSvdS



3、计算（一投、二代、三定号）

:zz(x,y)，（1）则R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy（上(x,y)Dxy，Dxy侧取正，下侧取负）

（2）则P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz（前(x,z)Dxz，:xx(y,z)，Dyz侧取正，后侧取负）

（3）:yy(z,x)(y,z)Dyz，则Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx（右

Dzx侧取正，左侧取负）

4、两类曲面积分之间的联系

PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS，dSdydzdzdxdxdy coscoscos其中cos,cos,cos为有向曲面Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦(六)、高斯公式

1、高斯公式

PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dS xyz(,,是上点(x,y,z)处的法向量其中为的整个边界曲面的外侧，的方向角。



2、通量 向量场APiQjRk，沿场中有向曲面Σ0AdSAndSPdydzQdzdxRdxdy 称为向量场A(x,y,z)向正侧穿过曲面Σ的通量 PQR

3、散度 设APiQjRk，则divA

xyz(七)、斯托克斯公式

1、Stokes公式

dydzdzdxdxdyxyzPQRcosxPcosyQ(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy yzzxxy=cosRQQPPR)cos()cos()cosdSds=(yzzxxyzRPdxQdyRdz

其中有向曲线是有向曲面的整个边界，且满足右手系法则

2、环流量 向量场APiQjRk沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分CAdsCPdxQdyRdz称为向量场A沿曲线C按所取

ijyQkdS zR方向的环流量。环流量i

3、旋度

向量xPjyQCAdsxPk为向量场APiQjRk的旋度(rotA)。zRi旋度

rotAxPjyQkRQPRQP()i()j()k.zyzzxxyR

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