数学几何证明选讲教案
第1篇： 数学几何证明选讲教案
数学几何证明选讲教案
数学几何证明选讲教案
考试要求重难点击命题展望
1.了解平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角形射影定理.
3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.
4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四 边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.
5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
6.了解下面的定理.
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：
①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.
7.会利用丹迪林(Dandelin)双 球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：
当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.
(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)
8.会证明以下结果：
①在7.中，一个丹迪林球与圆 锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.
②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点 A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).
9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果. 本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.
本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的.证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.
本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.
第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.
知识网络
16.1 相似三角形的判定及有关性质
典例精析
题型一 相似三角形的判定与性质
【例1】 如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长.
【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以S△ABCS△FCD＝(BCCD)2＝4，又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝12BC?AM，BC＝10，所以20＝12×10×AM，所以AM＝4.又因为DE∥AM，所以DEAM＝BDBM，因为DM＝12DC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，所以DE4＝55＋52，所以DE＝83.
【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB＝14 cm，ADBD＝59，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm.求△ADE的面积和周长.
【解析】由AB＝14 cm，CD＝12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝84 cm2.
再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由S△ADES△ABC＝(ADAB)2可求得S△ADE＝757 c m2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角 形性质可得△ADE的周长为15 cm.
题型二 探求几何结论
【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.
(1)若AEEB＝12，求证：3EF＝BC＋2AD；
(2)若AEEB＝23，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；
(3)请你探究一般结论，即若AEEB＝mn，那么你可以得到什么结论？
【解析】 过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.
(1)因为AEEB＝12，所以AEAB＝13，
又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB＝13，即3EG＝BH，
又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝13(BC－HC)＋AD，
所以EF＝13BC＋23AD，即3EF＝BC＋2AD.
(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似.
(3)因为AEEB＝mn，所以AEAB＝mm＋n，
又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB，即EG＝mm＋nBH.
EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝mm＋n(BC－AD)＋AD，
所以EF＝mm＋nBC＋nm＋nAD，
即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.
【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【解析】设存在满足条件的实数k，
则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，
由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得ADQC＝DPCP或ADPC＝DPCQ，
由此解得CQ＝1或CQ＝14.
从而k＝0或k＝34.
题型三 解决线的位置或数量关系
【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC △BAD，求证：AB∥CD.
【证明】 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四点共圆，
所以∠CAB＝∠CDB.
再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，
所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.
【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1，△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 .
【解析】因为AB∥A1B1且AB＝12A1B1，所以△AOB∽△A1OB1
因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.
所以△A1OB1的外接圆直径为2.
总结提高
1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.
相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.
2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.
第2篇：高二数学几何证明选讲教案
几何证明选讲
（共计10课时）授课类型：新授课
一【教学内容】
1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】
1． 理解相似三角形的定义与性质定理． 2.掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理
三【教学过程】
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用； 第1课时.基础知识:
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。例题选讲：
例1 已知：线段ＡＢ
求作：线段ＡＢ的三等分点 作法：
1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点L、K
点L、K为所求的三等分点
作业练习：课本P5习题1.1第2课时.基础知识:
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。例题选讲：
例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.例
2、如图，已知DE//BC，EF//CD，求AD是AB和AF的比例中项。
例3平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
作业练习：课本P9-10习题1.2第3、4课时.［复习提问］
1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）． ［讲解新课］
我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有
三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？
基础知识:
预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似.判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；
相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；
例6如图，锐角△ABC，BC=24cm,BC边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求
简单说成：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：三边对应成比例,两三角形相似。例题选讲：
例2圆内接△ ABC的角平分线CD延长线交圆于一点E。求证： EBDB
EC
CB
这个正方形的边长。Q
D M C
例4已知： D、E、F分别是△ABC三边的中点, 求证： ΔDEF∽ △ABC
基础知识:
定理（1）有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
(2)如果两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似
作业练习：课本P19-20习题1.3第5课时..直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项； 两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。作业练习：课本P22习题1.4第二讲 直线与圆的位置关系(共5课时)
以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理 基础知识:
1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。
o
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90的圆周角所对的弦是________。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。2.圆内接四边形的性质定理与判定定理：
圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________
。如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。
3.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。
4.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。、例题选讲：
例1已知：如图,AD是△ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB.AC=AE.AD
作业练习：课本P26习题2.1例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2 交于
点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF
例2：如图,CF是△ABC的AB边上的高
PFBC,FQAC
E
例2如图，AB与CD相交于一点P。求证：AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.B
F
求证：A,B,P,Q四点共圆.A
作业练习：课本P30习题2.2例1已知： 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，求证：DE是⊙O的切
线。
E
例2已知： 如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过C点的切线垂直，垂足为D。
求证:AC平分
作业练习：课本P32习题2.3例 1已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D。试说明AC平分∠BAD。
EC
D
作业练习：课本P34习题2.4例 1已知：如图圆内两条相交弦AB,CD相交于圆内一点P，PA=PB=4,PC
PD求CD的长。
A
D
例 2如图E是圆内两条相交弦AB,CD
AD的延长线与F,FG切圆于G。求证：（1）ΔDEF
∽ △EFA;(2)EF=FG
B
F例 4如图AB是⊙O的直径，过A，B引两条弦AD和BE，相交点C.B
求证：ACADBC
BEAB
作业练习：课本P40习题2.5四.【小结】
几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生运用综合几何方法解决问题的能力。
五、【布置作业】
1如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于．1题图
2.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠。
43.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于．3题图
4.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠
第3篇：几何证明选讲
几何证明选讲
2007年：
15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的 垂线AD，垂足为D，则DAC
A
2008年：
15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB=1，则圆O的半径R=
图
4l
2009年：
15.(几何证明选讲选做题)如下图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30，则圆O的面积等于
o
2010年：
14．（几何证明选讲选做题）如上图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=
a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=2
2011年：
15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，AB//CAD,B4,CD2,分别为E,F，上的点，且ADBC，
3EF，EFAB
则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为
A
2012年：
15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，PB
第4篇：高三数学~几何证明选讲
德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue 高三数学~~几何证明选讲
1、外接圆的切线证明
[ 高三数学] 题型:探究题
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
考查知识点：
圆的切线的判定定理及性质定理
难度:难
解析过程：
规律方法：
熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键。
2，急！关于一道几何题！
[ 高三数学]题型:解答题
在三角行ABC中，角C=30度，O为外心，I为内心，边AC上的点D与边BC上的点E，使AD=BE=AB，求证：OI=DE且OI垂直
问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路
德智知识点 http://www.daodoc.com/knowledge德智QQ学习分享群：26192056
2德智答疑 http://dayi.dezhi.com/shuxue
考查知识点：
难度:难 直角三角形射影定理
解析过程：
解：
已知三角形ABC中，O、I为其外心和内心，角C=30度，D、E分别为AC和BC上两点，且AD=AB=BE，求证：OI=DE，且OI垂直于
第5篇：高考数学几何证明选讲
几何证明选讲
模块点晴
一、知识精要
值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑
6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
形与三角形相似。
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应
条直线平行于三角形的第三边。
1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
（2）相似三角形周长的比等
