导数的应用——利用导数证明不等式1_利用导数证明不等式

导数的应用——利用导数证明不等式1由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“利用导数证明不等式”。

导 数 的 应 用

--------利用导数证明不等式

教学目标：

1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式

2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式

教学难点：利用导数证明不等式

教学过程：

一、复习回顾

1、利用导数判断函数的单调性；

2、利用导数求函数的极值、最值；

二、新课引入

引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解.因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．

三、新知探究

1、利用导数得出函数单调性来证明不等式

x2例1：当x>0时,求证：x＜ln(1+x).2

x2x2'证明：设f(x)= x－ln(1+x)(x>0), 则f(x)=． 21x

'∵x>0,∴f(x)

x2所以x>0时,f(x)

小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．

随堂练习：课本P32：B组第一题第3小题

2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）

1例２．已知函数f(x)aexx2 2

(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;

(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x

解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立

记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．

知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e, + ∞)

1(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=exx21x(x0)2

则F′(x)=ex-1-x,令h(x)= F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1

当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0

即F′(x)>0 ,∴F(x)在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mf(x))恒成立，于是，从而把不等式恒成立问题转化为m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值）

求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．

例3．（2004年全国）已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx

(1)求函数f(x)的最大值；

ab)(ba)ln2.2

分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：(2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g（证明：对g(x)xlnx求导,则g'(x)lnx1.在g(a)g(b)2g(ab)中以b为主变元构造函数, 2

2设F(x)g(a)g(x)2g(ax),则F'(x)g'(x)2[g(ax)]'lnxlnax.22

当0xa时，F'(x)0,因此F(x)在(0,a)内为减函数.当xa时,F'(x)0,因此F(x)在(a,)上为增函数.从而当xa时, F(x)有极小值F(a).因为F(a)0,ba,所以F(b)0,即g(a)g(b)2g（2ab)0.2又设G(x)F(x)(xa)ln2.则G'(x)lnxlnaxln2lnxln(ax).当x0时,G'(x)0.因此G(x)在(0,)上为减函数.因为G(a)0,ba,所以G(b)0,即g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2.2

综上结论得证。

对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.四、课堂小结

1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；

2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；

3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；

总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．

五、思维拓展

ax2

xe(x0)；（2008联考）已知函数f(x)ex1(x0)，g(x)2x（1）求证：当a1时对于任意正实数x, f(x)的图象总不会在g(x)图象的上方；

（2）对于在（0，1）上任意的a值，问是否存在正实数x使得f(x)g(x)成立？

如果存在，求出符合条件的x的一个取值；否则说明理由。

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