(版)导数题型归类第四讲：构造证明的根_导数题型归类第六讲

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2015版导数题型归类

第四讲

构造证明不等式

一、学习目标

1.了解常见的构造类型：移项构造、变型构造、替换构造等。2.掌握常见的替换构造的根。

二、重难点 重点：替换的根

难点：怎么看出替换的根

三、引入

构造除了常见的移项和变形构造以外，还有一类构造需要替换字母或是式子转换为基本的不等关系，那么这类构造的根在哪里？

四、过程

【知识点】构造替换的常用根：ex1,当且仅当x=0时，取等号。

变形：

A组

1）exx1x

2）xln(x1)

3）x1lnx

B组

11x x1

5）lnx1

x

6）xlnx1

4）ln例题1.（2011年湖北高考）已知函数f(x)lnxx1,x(0,)，1）求函数f(x)的最大值

2）若数列an,bn都是正项数列，且a1b1a2b2，，，,anbnb1b2，，，bn求证：

b3bnb1b2a1a2a3，，，an1

【巩固练习】

1.（2010年全国）已知函数f(x)(x1)lnxx1

1）若xf'(x)x2ax1恒成立，求实数a的取值范围

2）证明：（x-1)f(x)0

【知识二】常见的构造方式：

不等式的构造灵活多变，技巧性特别强，有些证明又特别复杂，是同学们最头疼的问题，往往不知道从何处入手，苦苦冥想也找不到突破口。

1，直接构造：就是把证明的不等式，直接处理为一个函数，然后通过求极值最值等等明。

例题.设a0证明：,当x>0时，lnx2alnxx10恒成立

2，等价构造：对待证不等式进行重组整合，适当变形，找到其等价的不等式，观察其结构，根据结构构造函数。例题.求证：lnx

212 exex

3，特征构造：根据所证不等式的特征，展开联想，适当构造。例题.（2010辽宁）已知函数f(x)(a1)lnxax21

1）当a1时，判断函数的单调性（修改过）

2）设a2，证明：对任意的x1,x2(0,),f(x1)f(x2)4x1x2

4，变更构造：观察不等式结构，采用换元等手段，变形构造 例题.（2007年山东）设函数f(x)x2bln(x1),其中b0

1）求函数的极值点

2）证明对任意的正整数n,不等式：ln(11)1nn21n3都成立。

5，减元构造：多变量不等式，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数。

例题.已知函数f(x)，且h'(x)存在零点 1）求实数a的值

2）设A(x1,y1),B(x2,y2),(x1x2)是函数yg(x)的图像上的两点，g'(x)12xx2x,g(x)loga,(a0,a1)，若h(x)f(x)g(x)2y2y1

求证：x1x0x2

x2x14

6，联想构造：根据条件特征，积极展开联想-----借助和差求导，积商求导，直线斜率与导数关系等，恰当的构造所需的函数。

例题.已知函数f(x)为(0,)上的非负可导函数，且xf'(x)f(x)0，对任意的正数a,b,且a

）

A.af(a)f(b)

B.bf(b)f(a)

C..af(b)bf(a)

D..bf(a)af(b)

后记：导数作为压轴题，构造是最基本的考点考法。不同的题有不同的构造方法，法无定法。常见的思路和方法仅仅为我们提供一种积累，考试的时候本质还是在观察，分析，大胆实践和尝试。灵感也许就在你不停的尝试中闪现！

五．课堂巩固

x31，当0x时，求证：tanxx

23

2，（2014年北京崇文区一摸）已知曲线C:yeax.(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y2xm，求实数a和m的值；(Ⅱ)对任意实数a，曲线C总在直线l:yaxb的上方，求实数b的取值范围.六．课后作业

1.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足

f(x)ax，且f'(x)g(x)f(x)g'(x)，g(x)f(1)f(1)5f(n)g(1)g(1)2，若有穷数列的前n项和为127，则n=（g(n),nN128）2.已知函数f(x)axbx21在点（-1，f(-1)）处的切线为x+y+3=0 1)求函数的解析式

2)设g(x)=lnx，求证：g(x)f(x)在[1,)上恒成立 3）0

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