选修22第一章推理与证明练习题_选修2推理与证明

2020-02-28 证明下载本文

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推理与证明过关检测试题

1.考察下列一组不等式： 252525,252525,2

555

2525,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等

3223

式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列an满足a12，an1的值为．3.已知f(x1)A.f(x)

422

1an1an

（nN*），则a3的值为 a1a2a3a2007

2f(x)f(x)2

（xN*），猜想f(x）的表达式为（）,f(1)

12x1

；B.f(x)；C.f(x)



1x1

；D.f(x)

22x1

.

4.某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN），编号分别为1、2、3、„„、m，有n台（nN）织布机，编号分别为1、2、3、„„、n，定义记号aij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aij1，否则aij0，则等式a41a42a43a4n3的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了n台织布机； C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了n台织布机.5.已知f(n)1

f(32)

212



3

(nN)，计算得f(2)

32，f(4)2，f(8)

52，f(16)3，由此推测：当n2时，有6.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn，按此规律推出：当n2时，Sn与n的关系式

n2S4n3S8n4S12

„„

7.观察下式：1=1，2+3+4=3，3+4+5+6+7=5，4+5+6+7+8+9+10=7，„，则可得出一般结论：.8.函数f(x)由下表定义：

若a05，an1f(an)，n0,1,2,，则a2007．

9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用n表示)

图1 图2

10.图3

那么2003应该在第行，第列。

11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2008时，对应的指头是(填指头的名称).12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„„中，第25项为_____．

13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）

15.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aii1,2,3,4，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hii1,2,3,4，若

1

2

3

4k，则.ihi

i1

2Sk

类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为

Sii1,2,3,4, 此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为H

ii1,2,3,4,若S11

S22

S33

S44

4VK



K,则iHi(B)

i1

A.B.3VK

C.2VK

D.VK

16.设O是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA,hB,hC，O

到三边的距离依次为la,lb,l

c，则

lahA



lbhB



lchC

，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为

hA,hB,hC,hD，O到这四个面的距离依次为la,lb,lc,ld，则有b，17．在RtABC中，两直角边分别为a、设h为斜边上的高，则





1b，由此类比：三棱锥SABC

中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．

18、若数列an是等差数列，对于bn

(a1a2an)，则数列bn也是等差数列。类比上述性质，若数列cn是各项都为正数的等比数列，对于dn0，则dndn也是等比数列。19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）．

20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.123456

16

57

4254

711

16

621．在△ABC中，sinA

sinBsinCcosBcosC，判断△ABC的形状并证明.22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax+2bx+c=0，bx+2cx+a=0，cx+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23.ABC中，已知3b23asinB，且cosAcosC，求证：ABC为等边三角形。

24．如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、„、Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C：y3x(y0)

上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（nN）的横坐标an关于n的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案

1.ababab(a,b0,mkn,m,n,kN)3．

2,33.B.4.A5.f(2)

nnmkkm*

2n12

(nN)6.n(n2)

*22

7.n(n1)(3n2)(2n1),nN8.4 9.n(n1)(4n1)

6nN10.251,311、食指

12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„„中，第25项为__7____． 13．

n3n

214． 4n815、B提示:平面面积法类比到空间体积法

16． 1.提示：平面面积法类比到空间体积法 17．．

1222abc

(a1a2an)类比到几何平

nN提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数bn均数dnnN

m(m1)

19．20．

nn

221．解:sinA

sinBsinCcosBcosC,ABC

sinAcosBsinAcosCsin(AC)sin(BC)sinCcosAsinBcosA(sinCsinB)cosA0sinCsinB0,cosA0A

2

所以三角形ABC是直角三角形

22．三个方程中都没有两个相异实根

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，222

则Δ1=4b－4ac≤0，Δ2=4c－4ab≤0，Δ3=4a－4bc≤0.222222

相加有a－2ab+b+b－2bc+c+c－2ac+a≤0，222

（a－b）+（b－c）+（c－a）≤0.由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.23.解: 分析：由3b23asinB3sinB23sinAsinBsinA

32①

A

3,23

由cosAcosCACAC

3

B所以ABC为等边三角形

24.如图，P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、„、Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)（i1,2,3n）在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．（1）写出a1、a2、a3；

（2）求出点An(an,0)（nN）的横坐标an关于n的表达式并证明.解:（Ⅰ）a12,a26,a312;„„„„„„.6分

an1an

anan

1，由此及yn3xn得

（2）依题意，得xn