余弦定理练习答案_余弦定理练习题及答案

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一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝9，b＝3，C＝150°，则c等于

A.39B．83C．102D．73()． 解析 c2＝a2＋b2－2abcos C＝92＋3)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c＝3.答案 D

2．在△ABC中，若a＝7，b＝43，c13，则△ABC的最小角为

πA.3 π6π4π12()．

解析 ∵c

32π∴C＝B.6

答案 C

3．(2011·重庆卷)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为

4A.32D.3()． B．8－43C．

1解析 由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①

∵a2＋b2－c2＝2abcos C，故方程①化为2ab(1＋cos C)＝4.∴ab＝21＋cos C

4又∵C＝60°，∴ab＝3.答案 A

4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则三角形一定是

A．直角三角形B．等边三角形

C．等腰直角三角形D．钝角三角形

解析 由余弦定理b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．

答案 B

5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为

()．()．

4A.3

C．1B．8－43 23

解析 由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①

∵a2＋b2－c2＝2abcos C，故方程①化为2ab(1＋cos C)＝4.2∴ab＝1＋cos C

4又∵C＝60°，∴ab＝3

答案 A

6．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是

()． A.20B.212261

1解析 设长为4,5的两边的夹角为θ，由2x2＋3x－2＝0得：x＝x＝－2(舍)． 2

1∴cos θ＝，2

∴第三边长为 答案 B

二、填空题

7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac.∴原式为0.答案 0 142＋52－2×4×5×21.238．(2012·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝5，5cos B＝13b＝3，则c＝________.35412解析 ∵A，B，C为三角形内角且cos A＝5，cos B＝13，∴sin A＝5sin B＝13C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

4531256＝5×13＋5×13＝65.cbsin Csin B，566514sin C得c＝b×sin B＝3×12＝5.1

314答案

59．在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．

解析 ∵c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝1＋4－4cos C＝5－4cos C.π又∵0

∴c2∈(1,5)．∴c∈(15)．

答案(1，batan Ctan C10．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若6cos C，则＋abtan Atan B

是________．

ba解析 ＋6cos C，得b2＋a2＝6abcos C.ab

tan Ctan C化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，将＋ tan Atan B

sin Ccos Acos Bsin CsinA＋B得＝ cos Csin Asin Bcos Csin Asin B

sin Csin Csin2C＝＝.cos Csin Asin Bcos Csin Asin B

sin2C＝cos Csin Asin B

2c22c

2＝＝4.a＋b－c322－c2

三、解答题 c2 a＋b－cab2ab

ππ8．(2012·江西卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝4bsin4＋C

π－csin4B＝a.

π(1)求证：B－C＝2；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．

πππ解(1)证明：由bsin4C－csin4B＝a，应用正弦定理，得sin B·sin4＋C－

πsin Csin4B＝sin A，

22222sin BC＋cos C－sin Csin B＋B＝2，2222

整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1，3π由于0＜B，C＜4，从而B－C＝2.3π5ππ(2)B＋C＝π－A＝4，因此B＝8C＝8πasin B5πasin Cπ由a＝2，A＝4b＝sin A2sin8c＝sin A＝2sin8，15ππππ1所以△ABC的面积S＝2bcsin A＝2·sin8·sin82cos882