正余弦定理_正余弦定理证明

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正余弦定理

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R． sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC； abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC； 2R2R2R

abcabc④． sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：

1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a

当bsinA

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：SC111bcsinabsinCacsin． 22

22222224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC． 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：

1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90；

②若abc，则C90；③若abc，则C90．

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,C、D两点，并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.OOOO222222数学必修5第一章《解三角形》

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60 C．120或60D．30或1502、在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则角C___________。

3、三角形△ABC中AB=14，角C60，AC：BC=8：5，求△ABC的面积S。

二、课堂练习： 00000000

abc1、在ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A、2；B、2；CD、。

2、在OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,

2]，则当OAB的面积达

最大值时，。

3、在ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，求cosA。

4、在△ABC中，bcbca，且

三、课后练习：

1、在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A=（）

A、30；B、60；C、120；D、1502、在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状为（）

A、钝角三角形； B、锐角三角形;C、直角三角形； D、无法确定其形状。

3、在ABC中，∠A=60°, a=6 , b=2, 那么满足条件的ABC共有个。222c13，求角A和tanB的值。b

2S3，则a=。

4、在ABC中，b

8，cABC5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA

（1）求sin6、在ABC中，已知(abc)(abc)3abc，sinAsinB

状.21。3BCcos2A的值；（2）若a3，求bc的最大值。23，试判断三角形的形

47、已知ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1）ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围.参考答案

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、D；

2、1200；

3、设AC8x,BC5x，ABACBC2ACBCcosC

19664x25x40x49xx2AC16,BC10S22222221ACBCsinC40。

2二、课堂练习：

1、A；

2、450；

3、SADC:SBDC3:2,AD:BD3:2，于是设AD3x,BD2x ADCDBDCD, sinACDsinAsinBCDsinB

3xCD2xCD,3sinA2sin2A4sinAcosA sinACDsinAsinACDsin2A

3所以，cosA。4在△ADC与△BDC中，由正弦定理得，b2c2a21A60

4、bcbca,cosA2bc222

2c1a2c2ca又由bcbca得，212，， b2bb2bb222

则 sinA52 sinBcosBsinB25

5sinB1a25。，所以tanB1,abb(0,90)cosBcosB2b25

三、课后练习：

1、C；

2、B；

3、1；

4、8；

5、(Ⅰ)sinBC1cos2A=[1cos(BC)](2cos2A1)2

212=(1cosA)(2cosA1)2

1121=(1)(1)=  23992

2b2c2a21cosA，∴bcb2c2a22bca2,(Ⅱ)∵32bc

3又∵a3，∴bc

9.4993，当且仅当 bc时, bc= 424故bc的最大值是

6、由（a+b+c）(a+b－c)=3ab(ab)c3ababcab, 2222

2a2b2c21∵0°

∴cos(A+B)=－

∴cosAcosB=311cosAcosBsinAsinB,∴sinAsinB=①, 4221②,①+②得cos(A－B)=1，AB, ∴A－B=0,4∴A=C=B=60°，故△ABC为正三角形.27、设BC,CA,AB依次为a,b,c,则abc6,bac,由余弦定理得

a2c2b2a2c2ac2acac1cosB 2ac2ac2ac2

故有0B

3，又bac6b,从而0b222

11212SacsinBbsinB

2sinSmax（1）所以2223

22222(ac)2acbBABCaccosB（2）所以22(6b)23b2(b3)2272

0b22BABC18

正余弦定理

正弦、余弦定理一.填空1．在ABC中，BCa，ACb，SABC4ab，则BC、AC两边的夹角等于____． 2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在ABC中，a8，B60，C75，则b_......

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