4.6正弦定理和余弦定理_正弦定理和余弦定理
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4.6正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则
263A.3239B.33933D.3a＋b＋c的值为()sin A＋sin B＋sin C
1解析：∵S△ABC＝3，即bcsin A＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝13，2∴a13，∴a＋b＋ca132393sin A＋sin B＋sin Csin A
3答案：B
432．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2，b＝A等于()3
A．15°B．75°C．105°D．75°或15°
22×
3223.2解析：根据正弦定理cbcsin B，sin C＝bsin Csin B∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D
abc3．在△ABC中，设命题p＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题sin Bsin Csin A
p是命题q的()
A．充分不必要条件
C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
abcabc解析：若△ABC是等边三角形，则＝；若＝，sin Bsin Csin Asin Bsin Csin A
a＝bc，abc2又＝b＝ac，sin Asin Bsin Cc2＝ab，答案：C
4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是
()
A．(1,2)B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(3，＋∞)2 即a＝b＝c.∴p是q的充要条件．
解析：设△ABC三内角为A、B、C，其对边为a、b、c，且A
csin C∠C，且∠A＋∠B＋∠C＝180°，可得∠B＝60°，由已知∠A
sin(60°＋A)
31＝cot A＋sin A22答案：B
二、填空题
5．在△ABC中，sin A＋cos A＝
5sin A＋4cos A，则＝________.1315sin A－7cos A
120289
∴cos A＜0，即A为钝角，∴(sin A－cos A)2 169169
解析：由已知2sin Acos A＝－∴sin A－cos A＝答案：
43171258sin A＝cos A＝－.原式＝13131343
ab
6．在△ABC中，∠C＝60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则＝________.b＋cc＋a解析：因为∠C＝60°，所以a2＋b2＝c2＋ab，所以(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(c＋a)，所
ab以1，故填1.b＋cc＋a答案：
17．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC为________． 解析：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.又a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.b2＋c2－a2bc
1在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝，∴∠A＝60°.2bc2bc2b
2由b＝ac，即a＝，代入a2－c2＝ac－bc整理得(b－c)(b3＋c3＋cb2)＝0，c
∴b＝c.则△ABC为正三角形． 答案：60° 正三角形
三、解答题
8．(2009·湖南)在△ABC中，已知，求角A、B、C的大小． 解答：设△ABC三内角A、B、C的对边分别为a，b，c，由
2cos A＝，①，得
bc＝3a2，②，又0°＜A＜180°，则A＝30°，2由①cos A＝
b2＋c2－a2b2＋c2－a2
3根据余弦定理cos A＝，③
2bc2bc2②代入③整理得 3b2－4bc＋ 3 c2＝0，4c± 则b＝
16c－12c，解得b＝ 3 c，或c＝ 3b.2 当b＝ 3 c时，c＝a，则C＝A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝120°； 当c＝ 3 b时，b＝a，则B＝A＝30°，C＝180°－(A＋B)＝120°.综上可知：A＝C＝30°，B＝120°或者A＝B＝30°，C＝120°.9．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
解答：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积
1S＝S△ABD＋S△BCD·ADsin A＋BC·CDsin C.22
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C．∴S＝AB·AD＋BC·CD)sin A
＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A.2
由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A ＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A.在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝62＋42－2×6×4cos C＝52－48cos C.1∵20－16cos A＝52－48cos C，∵cos C＝－cos A，∴64cos A＝－32，cos A＝－
2∴A＝120°，S＝16sin 120°＝83.10．在△ABC中，已知∠B＝60°，最大边与最小边的比为
3＋1，求△ABC的最大角． 2
解答：解法一：设最大边为a，最小边为c，边a、c所对角为A、C，3＋13＋13＋1asin A
则c，由正弦定理，即sin A＝sin C.2sin C22又sin A＝sin[180°－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝∴
3＋1
31sin C＝cos C＋sin C，22
231
cos C＋sin C，22
即sin C＝cos C．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.3＋1a2＋c2－b21a
解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则＝，由＝b2＝a2＋
c22ac2
c－ac.a2acca2＋b2－c22a2－ac2
cos C＝＝＝.2ab2a2aa＋c－ac
＋1
ccc又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.A＋BC1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tan＋＝4,2sin
Bcos C＝sin A，求A，B及b，c.CCsin22A＋BCCC1
解答：由tan＋＝4得4，∴CC4，∴CC＝4.2222
sincoin22221π5π
∴sin C＝，又C∈(0，π)，∴C＝C＝，266由2sin Bcos C＝sin A得2sin Bcos C＝sin(B＋C)，π2π
即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝A＝π－(B＋C)＝，631
2abcsin B
由正弦定理＝b＝c＝a23×2.sin Asin Bsin Csin A3
2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝
α，∠ABC＝β.(1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值．
解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①
DCAC(2)在△ADC中，即sin β3sin α.②
sin αsin β①代入②整理得：3sin2β－sin β－＝0.解得sin β
33，或sin β＝－舍去，又β为锐角，则β＝60°.23
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