均值不等式等号成立的常见错误及解决途径_均值不等式恒成立答案

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均值不等式等号成立的常见错误及解决途径

湖北省郭 松

不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。

一、常见错误

１.不能正确判断公式中的a,b

例1：已知x(0,值？

错解：y=x(1-2x)=

当x=1-2x即 x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x12x212x(1-2x)()= 22281时等号成立

31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。解答应为当2x=1-2x,当x=

立

2.错误理解a=b时等号成立

例2：已知函数y=x+1(xR)求函数的值域

错解：y=x+12x,当x=1时等号成立，故y

2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。

首先y=x+12x,当x=1时等号成立是正确的。

但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=

222215时y=>1=2x。如右图，我们可以 24发现y=x+12x，当x=1时等号成立。但

正确解答为y>

1二、解决途径

1.利用单调性

例3：已知函数y=sinx+

解：函数y=x+24,求函数的值域 sin2x42在x(0,2)函数单调递减，且0

44 函数y=sin2x+21+=5 1sinx

 y5,

因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。函数y=x+a(a为正常

x

数,x>0)。x（0，a函数单调递减，xa,函数单调递增。利用函数的单调性证

明不等式是证明不等式的一种通法。理论上说不等式都能用函数单调性解答。

2.通过配系数

同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx5 22sinxsinx

413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键

3.利用换元法

例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值

错解：10= a+b+m+n2（am+bn）

得：am+bn5

显然等号不能成立

正解：设：a=sin,b=cos,m=3sin,n=3cos得

am+bn=3cos()3

4.构造向量 利用向量的性质z1z2z1z2

同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得

z1z2=am+bnz1z2=a2b2

22222222m2n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。有利于数学能力的培养

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