关于数学中立体几何与平面解析几何的交汇问题_数学平面解析几何
关于数学中立体几何与平面解析几何的交汇问题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“数学平面解析几何”。
关于数学中立体几何与平面解析几何的交
汇问题
一.摘要
近年来各省市高考数学试卷，遵循高考命题的“三个有利于”和稳定、改革、创新的命题原则，在试题设计上做到“从学科的思维高度和思维价值考虑问题，在知识网络交汇点设计试题”，用统一的教学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用。不同的高考试卷，表现出一个共同特点，即通过对新颖信息、情景的设问，在知识网络交汇处设计试题，体现了对创新能力的考查，因此，要提高复习的针对性，适应高考创新型试题，必须注意知识在各自发展过程中的纵向联系以及不同知识部份之间的横向联系，把握结构，理清脉络，十分重视知识网络交汇点和知识块结合部的复习，以提高对高考创新型试题的适应能力。
关键字：立体几何，解析几何，平面几何，创新能力，数学试卷。
二．立体几何与平面解析几何的交汇分析
在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够
重视。
【一】 空间轨迹
教材中，关于轨迹，多在平面几何与平面解析几何中加以定义，在空间中，只对球面用轨迹定义作了描述。如果我们把平面解析几何中的定点、定直线不局限在同一个平面内，则很自然地把轨迹从平面延伸到空间。
例1，（04高考重庆理科）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）
解：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴
图形应选（D）。为小于1的常数，故轨迹
例2，已知边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，在正方体表面上距A为
间）的点的轨迹是正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。（在空
解：此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD—A1B1C1D1，各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，AA1DD1，AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为，A1B1C1D1，B1BCC1，D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为，故各段弧圆心
角为，∴这条曲线长度为。
【二】 平面几何的定理在立体几何中类比
高考考纲对考生思维能力中明确要求“会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能合乎逻辑地、准确地进行表述”，类比推理可考查考生利用旧知进行知识迁移、组合和融汇的能力，是一种较好地考查创新能力的形式，平面几何到立体几何的类比，材料丰富，操作性强，在历年高考中均有不俗表现。
例3，（04高考广东卷题15）由图(1)有面积关系：，则由图
(2)有体积关系（答案：）
评注：数学结论的类比既需要数学直觉，也需要逻辑推理能力，它是高考考查创新能力的重要载体，从平面几何到立体几何的结论类比，更是这一类考题蕴藏丰富的宝库，从三角形到三棱锥，从正方形到正方体，从圆到球等等，如果我们稍加留意，就会有很多收获。
【三】 几何体的截痕
例4：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab，其中a,b为长、短半轴长）。
解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影
椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时
b=R，a= =2R，∴离心率，投影面积S=πab=π·k·2R=2πR=18π。
评注：囿于空间想象能力的限制，几何体的截痕和投影是立体几何中的一个难点，也是具，有良好区分度的考题素材，因此有必要适当进行相应的训练，才能形成基本的解题策略。
【四】 几何体的展开
例5：有一半径为R的圆柱，被与轴成45°角平面相截得“三角”圆柱ABC,则此“三角”圆柱的展开图为（）
解：设圆柱底面中心O，底面圆周上任一点P'，过P'的圆柱母线与截口交点为P，∠AOP'=θ，则∵∠CBA=45°，作P'Q⊥AB于Q，∴|PP'|=|AC|－|AQ|=2R－（R－Rcosθ）=R（1+cosθ），AP'=Rθ。
∴在柱面展开图中，以AB直线为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，相应点P坐标
为（x,y），则有
线，故应选（D）
消去
得，展开图轮廓线为余弦曲
评注：几何体与其展开图，包含了平面与空间的大量信息，需要较强的空间想象能力，要进行点与对应点，线段与对应线段的位置与数量的细致分析，需找出变与不变量以及变化规律，因此，它是代数与几何、空间与平面的重要知识交汇点。
三．结论
综上所述，知识交汇处是创新型试题生长的沃土，也是高考复习中十分重要的着眼点。在高考复习中，我们必须重视在知识交汇处挖掘复习素材，加强知识交汇点的训练，才能增强高考创新型试题的适应能力。
参考文献：
【1】04高考重庆理科试卷．
【2】04高考广东卷题．
【3】田载今，薛彬．全日制普通高级中学教科书数学教材（必修）第二册下B[M]．北京：人民教育出版社，2004:4—90．
【4】吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2008年．
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