讲义平面向量与三角形四心的交汇_平面向量与三角形四心

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讲义---平面向量与三角形四心的交汇一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 OOAOBOC0yyy23(y1y)(y2y)(y3y)0y13是ABC的重心.证法2：如图

AOAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

OEO是ABC的重心

（2）OAOBOBOC证明：如图所示O是三角形

BDCOCOAO为ABC的垂心.ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

AOBAC

E同理OABC，OCAB

BOO为ABC的垂心

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量，cbABAC平分BAC, cbABACbc)，令 AO(abccb证明：DCAOABACbc（）abccb化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4）OAOBOCO为ABC的外心。

三、典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABACAC)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例3：1)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABcoBsACACcoCs)，0,，则点P的轨迹一定通过ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA(),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的()|AB|sinB|AC|sinCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OBOCABACOP(), [0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的()2|AB|cosB|AC|cosCA.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30，|OP1||OP2||OP3|1，求证：△PP是正三角形．

ABC例

5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = OHm(OAOBOC)，．

例

6、点）． O是三角形ABC

所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点

O是ABC的（A．三个内角的角平分线的交点 C．三条中线的交点

B．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点

例7

在△ABC内求一点P，使

AP2BP2CP2最小．

222222例8已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA||OC||AB|，则O为△ABC的 心．

例9．.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

222222例10 已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA|=|OC||AB|，则O点是△ABC的()A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心

例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若(OAOB)AB=(OBOC)BC=(OCOA)CA= 0，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC= 0，则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

aPAbPBcPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，abc则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

四、配套练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点

P，满足

PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（）

A．2 B．32 C．3 D．6 3

2．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOCA．

0，则OAOB()12 B．0 C．1 D．1 23．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形A．0 B．

ABOC面积之比是（）

C．

D．

是ABC的（）4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则HA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OABCOB222

CAOCAB222，则O是ABC的（）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH则实数m =

17．（06陕西）已知非零向量与满足(+)〃=0且〃= , 则△ABC为()

2A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知ABC三个顶点

m(OAOBOC)，A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为（）

2A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形

9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC), [0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC= 0, 则O点是△ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

111.已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(PAPBPC)(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC

3的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心