等差数列知识点解读_等差数列知识点汇总

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等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。

*1.设数列an的前n项和为Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．

因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。

2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为

3．已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913． a2a4a1016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

s奇n1）项数为奇数2n1的等差数列有：ssana中，s2n1(2n1)an s偶n1奇偶

sa2）项数为偶数2n的等差数列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an

1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列 anAnB（关于n的“一次函数”）

SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n

即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的nmn1

斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0； a0n1

q的非零自然数时Sn最大； 2p

2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0； an10

（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

q的非零自然数时Sn最小。

2p

题型1等差数列的基本运算 例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82

a1aa14d10

3解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130． 

aa44d908451d

3

aaaa88

方法2 dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．

nm451533

2A212A12B8

4(2)不妨设Sn＝An＋Bn，∴2 

B1720A20B460

∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝109

2(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)

∴15＝1即a1＝－5而d＝613 22261

8(aa)

∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝1844

又S6＝

变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+

Sn

}n

n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，2

7a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11

Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为.n1n2n2129∴Tn=n－n.44

∴

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解

方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明

*

例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，a1＋2d＝

5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.6a1＋15d＝36

变式训练2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.设bn＝n－1，证明：数列{bn}是等差数列；

n

an＋12an＋2ann

证明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n

2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.题型3等差数列的性质

例3设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a11，a46，n

an

S312，则a2010答案：4020

变式训练3在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

∴S13＝＝＝52.222

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题

例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且

12(a1a12)

13(a1a13)2

4＜0，解之得－＜d＜－3.27

（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.变式训练4设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于(A)

A．6B．7C．8D．9

【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n

n(n1)

2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最小值。

2d2d

n(a1)n利22

小结与拓展：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

用二次函数的性质求n的值.2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：

1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

(ad)2

(ad)16ad

解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 a

a2ad12



a4a9解得：或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．

d8d6

2．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．

等差数列知识点

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等差数列知识点解析

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等差数列知识点总结

等差数列1.定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表......

等差数列知识点+基础练习题

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