等差数列知识点总结_等差数列知识总结

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等差数列

1.定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

（1）ana1(n1)ddna1d(nN*)（首项:a1，公差:d，末项:an）

（2）anam(nm)d．从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2Aab 2anam； nm

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24．等差数列的前n项和公式：snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（公差为2d）

7.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则斜率为公差d；前n和Snna1为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2

a1an

a,a2,a3,,an2,an1,an ，图示：1

a2an

1(4)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，…也成等差数列

S3m

图示：a1a2a3amam1a2ma2m1a3m 

Sm

S2mSm

S3mS2m

（5）若等差数列{an}、且{bn}的前n和分别为An、Bn，Ana(2n1)anA2n

1f(n)，则nf(2n1).nnn2n1

（6）若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列

等差数列的性质以及常见题型

一等差数列的定义及应用

1.已知数列an的通项公式为an3n2，试问该数列是否为等差数列。

111yzzxxy

2.已知：，成等差数列，求证：也成等差数列。，xyzxyz

二等差数列的性质考察

(1)熟用ana1(n1)dam(nm)d，d

anam

问题 nm1、等差数列an中，a3a524，a23，则a6

2、已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an

3、已知等差数列an中，apq，aqp，则apq____．

(2)公差d的巧用

1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____

2、等差数列{an}中，已知公差d，且a1a3A．170

B．150

C．14

2a9960，则a1a2

a100

D．120

a2a

1等于()b2b1

4.已知xy且两个数列x,a1,a2,am,y与x,b1,b2,bn,y各自都成等差数列则

mm1nn1BCDnmn1m1(3)mnstamanasat性质的应用

A

1.等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_____。2.等差数列an中，若S1320。则a7_______。

3.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10_______。4.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则S20_____。5.在等差数列an中，a4a512，那么它的前8项和S8等于_______。

6.等差数列an中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则a7_______.7.｛an｝为等差数列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= _______。（4）方程思想的运用

1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和Sn

2.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求数列{an}的前n项和Sn

(5)Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用

1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。

2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。3.a1，a2，a3，……a2n+1 为 等差数列奇数项和为60，偶数项的和为45,求该数列的项数.4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项。

5.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(6）an

S2n

1的运用 2n1,bn的前n项和，若对任意nN*，都有1.设Sn和Tn分别为两个等差数列an

a11

= ________。b11

Sn7n1，Tn4n27

则

（7）an与Sn的关系问题;

1.数列an的前n项和Sn＝3nn2，则an＝_______

2.数列an的前n项和Sn＝n2n1，则an＝ 3.数列an的前n项和Sn＝2n1，则an＝___________ 4.数列{4n2}的前n项和Sn＝______.（八）巧设问题；

一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.1.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.2.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.3.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差

(九）．最值问题:；

1.在等差数列{an}中,a180,d6,求Sn的最大值.2.等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时？Sn最大

3.已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.（10)累加法的应用-------裂项相消

1.已知数列{an}满足:anan12n1,a11,求an.2.已知数列{an}满足:an1an4n1,a11,求an.4.在数列{an}中，a12,an1anln(1),求an.n

(11)由an求an的前n项和

1.数列an的前n项和Snn24n，则|a1||a2||a10|_______.2.数列an的前n项和Snn24n，bnan，则数列{bn}的前n项和Tn_______.(12)由Sn得an的题型、直接法

1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1

22，且满足2Sn12Sn3an1(nN*)。3

（1）求数列{an}通项公式an；

11119

（2）求证：当n2时，222L2。

a2a3a4an4

倒数法

an1

1.已知数列an中，an≠０，a1＝，an1＝（n∈N），求an

12an2