吉林省长春市一五0中学届高三上学期期中考试数学(文)试题 含解析_吉林省高三模拟题数学
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2017
2018学年度第一学期期中考试 高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A.B.，C.，则
D.等于（）
【答案】A 【解析】由题意可得：本题选择A选项.2.已知向量，D.，且，则实数等于（），结合交集的定义可知：
=
.A.B.C.【答案】C 【解析】∵ 向量∴∵∴∴故选C 3.函数A.【答案】B，即，的定义域是（）B.C.D.【解析】函数有意义，则：则函数本题选择B选项.4.函数A.在的定义域是，即.，求解绝对值不等式有：，上的最小值是（）
B.C.D.【答案】A 【解析】结合余弦函数的性质可知，当本题选择A选项.5.已知数列A.B.为等比数列，若 C.，则数列的前项之积等于（），时，函数
取得最小值
.D.【答案】A 【解析】由题意得∴∵数列∴∵∴故选A 6.在中，已知三边、、满足，则
等于（）
为等比数列
A.B.C.D.【答案】A 【解析】由余弦定理的推论得∵∴∵∴
故选A 7.设、、都是正数，则、、三个数（）
A.都大于 B.都小于 C.至少有一个大于 D.至少有一个不小于 【答案】D 【解析】假设、、，三个数都小于，则：
利用均值不等式的结论有：
得到矛盾的结论，可见假设不成立，即、、三个数中至少有一个不小于.本题选择D选项.点睛：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的． 8.若，满足约束条件A.B.C.D.【答案】C 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线经过点据此可得：时，目标函数.可以取得最大值，即：，将向右上方平移，且的最大值为，则正实数的值为（）
本题选择C选项.9.“”是“或”成立的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】考查其逆否命题：“
且
”可以推出“
”，但反之不能，∴逆否命题为充分不必要条件，即原命题也是充分不必要条件，故选A 10.已知为坐标原点，平面向量实数）.当A.【答案】B 【解析】∵∴又∵∴同理∴∴当时，有最小值，（为实数）B.，，且
（为时，点的坐标是（）
C.D.此时点的坐标是故选B 11.函数
（）的大致图象是（）
A.B.C.D.【答案】B 【解析】∵ 函数
∴∵
∴
故选B 点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.12.若函数情点对”，点对的图象上存在两个点，关于原点对称，则称点对与
可看作同一个“友情点对”，若函数
为的“友恰好有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（）A.【答案】B 【解析】设，且点
时函数图像上的点，则
关于坐标原点的对称点
也 B.C.D.在函数图像上，则原问题等价于数的性质可得：，与函数
在区间
上存在两个不同的交点，结合二次函求解关于实数的不等式组可得：即实数的取值范围是
.，点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.命题“任意【答案】存在，的个位数字不等于”的否定是__________.，的个位数字等于，的个位数字不等于”是全称命题，否定时将量词对任意
变【解析】命题“任意为存在，再将不等于改成等于即可.，的个位数字等于 在点
处的切线与直线
垂直，则实数等于__________.故答案为存在14.设曲线【答案】
【解析】对曲线的解析式求导有：结合直线垂直的充要条件有15.向量，，则，解得：
.在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则__________.【答案】
【解析】如图，作向量，则：，∵∴，（，），即
∴根据平面向量定理得：∴
故答案为2 16.在等差数列【答案】 中，首项，公差,若，则
__________.【解析】∵等差数列∴∴ 的首项，公差，故答案为
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知定义在上的偶函数（1）求（2）若【答案】(1)【解析】试题分析：(1)结合函数的性质首先求得
(2)结合(1)中函数的解析式分类讨论可得：试题解析：（1）设∴又∴∴故（2）当当故18.在（1）证明：（2）若时，.中角，所对的边长分别为，，为钝角三角形，求的值..角化边，结合，可得出的，.时，则，为偶函数，（），；.，.时函数的解析式为
（），故的解析式；，求实数的值.；(2)
.，当
时，.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（1）通过正弦定理将值，即可证明；（2）由值.试题解析：（1）因为的值求出，根据三角形面积公式，再结合三边关系即可求出的，由正弦定理得，又，可得，所以，所以为钝角.故为钝角三角形.（2）由（1）即.，所以，所以，得，19.数列的前项和记为，（）.（1）求，；（2）求数列【答案】(1)的通项公式.，；(2)
.【解析】试题分析：(1)由题意结合递推关系可得：，；
.....................试题解析：（1），.（2）由两式相减，得又，所以，得（）.，（），所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以
.的单调递增区间；
时，的值域是，求、的值..20.已知函数（1）当（2）当时，求，且【答案】(1)【解析】试题分析：
（）；(2)，.(1)由题意结合三角函数的性质可得(2)由题意结合三角函数的性质可得试题解析：（1）当所以当是增函数，故（2）因为又因为而，所以，所以时，即的单调递增区间是，所以的单调递增区间是，.（）；,（（，所以，所以且，解得，）时，）....的值域是
21.已知正项等比数列（1）求证：数列（2）若
（）中，公比，且，.是等差数列.，求数列的前项和..，可知，是方程的通项公式，结合的两根，以及等差的通项公式，结合数列【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（1）由再根据公比，求出，即可求出数列数列的定义即可证明数列是等差数列；（2）由（1）可求出数列的前项和.特点，根据裂项法求和，即可求出数列试题解析：（1）由
知，是方程的两根，注意到，得，因为，所以或（不可题意，舍去）.所以因为所以数列（2）因为所以，所以，.是首项为，公差为的等差数列.，所以，.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如
(其中
是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如22.已知函数（1）讨论（2）设在，或（.）在处的切线与轴平行.上的单调性；，证明：
.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：
(1)结合函数的导函数分类讨论有： 当当时，时，在在上单调递减，在上单调递增，在，则
在上单调递增； 上单调递减.上单调递增，(2)由题意有上单调递减，在结合（1）的结论有.据此可得试题解析：（1）当时，，在上单调递减，在.上单调递增，∴，，且，所以当所以（2）所以在时，在上单调递减，在，上单调递增；，上单调递增，在，，.，设上单调递减，在，即，上单调递减.，在，上单调递减，在上单调递增，由（1）知所以所以
在，则
上单调递增，.命题得证..
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