数列重点与提升_数列提升

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数列重点与提升

一、数列研究办法

1、特殊数列：等差等比数列的定义、性质和相关公式要熟练，要有转化为特殊数列的意识并熟练证明之.2、如何认识数列？先研究其主要性质：周期性、单调性和有界性

若给出的是递推公式，看能否求其通项公式，若求得通项公式anf(n)，可考虑从函数角度出发研究其性质，当然也可以从相邻项间关系比如作差或者做商去研究其单调性.3.走“两”步非常必要，但必须要走稳.4．基本模型：累加法、累乘法、倒数法、相邻项间具有一次函数关系的转化为等比数列、走两步—猜—数学归纳法证明、倒序求和、错位相减、裂项求和、分组求和.5.基本量方法，方程思想计算务必准确.6.an与Sn关系是很基本的问题，各种处理办法你都掌握了么？

7.若给出的是间隔项间的关系，一般要分奇偶讨论.8．数列极限也要熟练.比如无穷递缩等比数列的极限.注意一些小细节：判断和证明数列为特殊数列时对首项和前几项的研究，并判断是否从第一项开始就是特殊数列；已知Sng(n)，求an要分类求再看能否合并；对等比数列公比是否为1的讨论；等比中项一般有两项…….二、数列重点类型

1、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≤6，a11＞0，S14≥77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.23，）

2、数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，，且a1，a2，a3成公比

不为1的等比数列．

（I）求c的值；

（II）求an的通项公式．

3、数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1

3Sn，n=1，2，3，……，求

（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）a2a4a6a2n的值.

1an

2

a1n

4n为偶

数

4、设数列{an}的首项a1=a≠

4，且an

1,n为奇数

记bna2n1

14，n＝＝l，2，3，…·．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求lim(b1b2b3bn)．

n

2）

5、数列an满足a11，an1(n2n)an（n1，，是常数．

（Ⅰ）当a21时，求及a3的值；

（Ⅱ）数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有an0．

6、在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an|an1an2|,n3,4,5,，则称{an}为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；

（Ⅱ）若“绝对差数列”{an}中，a203,a210，数列{bn}满足bnanan1an2，n1,2,3,，分别判断当n时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求

出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.7.（2009北京文）（本小题共13分）



设数列{an}的通项公式为anpnq(nN,P0).数列{bn}定义如下：对于正整

数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若p

12,q

3，求b3；

（Ⅱ）若p2,q1，求数列{bm}的前2m项和公式；



（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm3m2(mN)？如果存在，求p和q的取值范围；

如果不存在，请说明理由.8.（2009北京理）（本小题共13分）

已知数集Aa1,a2,an1a1a2an,n2具有性质P；对任意的 i,j1ijn，aiaj与

ajai

两数中至少有一个属于A.（Ⅰ）分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a11，且

a1a2ana

1

1a

1

2a

1n

an；

（Ⅲ）证明：当n5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.9.（2009年上海卷理）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列。

（1）若an3n1，是否存在m、kN*，有amam1ak?说明理由；（2）找出所有数列an和bn，使对一切nN*,an1an

bn,并说明理由；

（3）若a15,d4,b1q3,试确定所有的p，使数列an中存在某个连续p项的和

是数列bn中的一项，请证明。

10.（2009上海卷文）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.已知an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列

（1）若 an3n1，是否存在m,nN*，有amam1ak？请说明理由；

n

（2）若bnaq（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有bmbm1bk，试求a、q

满足的充要条件；

n

（3）若an2n1,bn3试确定所有的p,使数列bn中存在某个连续p项的和式数列中

an的一项，请证明.11.（2009重庆卷理）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设m个不全相等的正数a1,a2,,am(m7)依次围成一个圆圈．,（Ⅰ）若m2009，且a1,a2a1,a

2,a

,20,a10是公差为d的等差数列，而

00908,a是公比为qd的等比数列；数列a1,a2,,am的前n项和

Sn(nm)满足：S315,S2009S200712a1，求通项an(nm)；

（Ⅱ）若每个数an(nm)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：

a1a6a7amma1a2am；

三、数列高考预测

1.设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项

(1)写出数列{an}的前3项

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=（21an

1an

anan1)(n∈N)，求lim(b1+b2+b3+„+bn－n

*

n

2．已知数列{an}中，a1=

2，2an+1=an+n(n N*)，*

bn=an+1-an-1(nÎN)．

（1）求证：数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设Sn、Tn分别为数列使得数列镲镲镲铪禳Sn+mTn镲

n

1x

2{an}、{bn}的前n项和，若存在实数m，为等差数列，试求出实数m的值．



3.已知函数y1的图象按向量m(2,1)平移后便得到函数f(x)的图象，数列{an}满足anf(an1)（n≥2，nN*）．（Ⅰ）若a1

3535，数列{bn}满足bn

1an1，求证：数列{bn}是等差数列；

（Ⅱ）若a1，数列{an}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若1a12，试证明：1an1an2．

4.数列an满足a11,a22,an2(1cos

n2)ansin

n2,n1,2,3,.(Ⅰ)求a3,a4,并求数列an的通项公式；(Ⅱ)设bn

a2n1a2n

Sn2,Snb1b2bn.证明：当n6时1n.5.已知an是由非负整数组成的数列，满足

a10,a23,an1an(an12)(an22),n3,4,5,„„．

(1)求a3；

(2)证明anan22,n3,4,5,„„；(3)求an的通项公式及其前n项和Sn． 数列自我检测：

1．已知数列an中，a15且an2an12n1（n2且nN*）（1）求a2，a3的值；

（2）是否存在实数，使得数列请说明理由。

2．已知数列an中，a13，an1

23an

an

为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，n

2

（n2,nN*）

（1）若数列bn满足bn

1anan2，证明：bn是等比数列；

（2）求数列an的通项公式及最大项，并说明理由；（3）求liman的值。

n

*

3．数列an中，a31，a1a2anan1(nN)

（1）求a1，a2，a4，a5；（2）求数列an的前n项和Sn；

（3）设bnlog2Sn，存在数列cn使得cnbn3bn41n(n1)(n2)Sn，求数列cn的前n项和Tn。

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