华工数学分析三试题_数学分析三试题

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,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 《数学分析(三)》试卷 1.考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷； 本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。(每小题3分，共15分)

1、以下四个命题：(a)两个二次极限都不存在，则二重极限必不存在;(b)两个二次极限存在但不相等，则二重极限必不存在;(c)两个二次极限存在且相等，则二重极限存在；(d)若两个二次极限和二重极限都存在，则它们相等;()、1B、2C、3D、4、考虑二元函数f(x,y)的以下性质： ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在;PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有()、②③①B、③②①C、③④①D、③①④ xy,(x,y)(0,0)223、二元函数f(x,y)xy在点(0,0)处()0,(x,y)(0,0)A、连续，偏导数存在;B、连续，偏导数不存在;C、不连续，偏导数存在;D、不连续，偏导数不存在.4、设f(x)为连续函数，F(t)dyf(x)dx，则F'(2)()1yttA、2f(2)B、f(2)C、－f(2)D、05、已知(xay)dxydy为某函数的全微分，则a等于()2(xy)A、-1；B、0；C、1；D、2。《数学分析(三)》试卷

二、填空题(每小题3分，共15分)

1、叙述平面点集E的聚点的定义：____________________________________________ ______________________________________________________________________________。

2z2、设zf(xy,ysinx),其中f具有二阶连续偏导数,则＝__________________ xy

2______________________________________________________________________________。

3、设uf(xy,xy)可微，则它的全微分du=________________________________。

4、函数f(x,y)exy在点(0,0)处的n阶泰勒展开式为____________________________ ______________________________________________________________________________。

5、曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面方程是_____________。

三、解答题(每小题6分，共36分)

2z2z2z1、设uxy,vxy,wxyz，变换方程2220。xyyx2、一页长方形白纸，要求印刷面积占A cm2，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为h cm，左部与右部之和为r cm，试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的总面积为最小。

3、求球面xyza与圆柱面xyax(a0)的公共部分的体积。

2222224、应用对参数求导法计算：

0ln(12acosxa2)dx(|a|1)。

5、计算：(x2xy)dx(y2xy)dy，l为yx2从(1,1)到(-1,1)。2

2l6、计算曲面积分：I2xdydz2y

S33dzdx3(z21)dxdy，S是曲面

z1x2y2(z0)的上侧。

四、证明题：(每小题7分，共21分)

1、设f(x,y)在区域D内连续，并且在D内两点M1(a1,b1),N1(1,1)异号，则用完全位于D内的任意的折线l联结M1,N1时，在l上必有一点M(x,y)满足f(x,y)0。

122(xy)sin,222、设f(x,y)xy0,x2y20x2y20

证明：fx(x,y),fy(x,y)存在但不连续，在(0,0)点的任何邻域中无界，但在(0,0)点可微。

3、设f(t)当t0时连续，若

在[a,b]上一致收敛。

五、讨论题：(第１小题6分，第２小题7分，共13分)

1、讨论函数F(y)

x20tf(t)dt当a,b时收敛，则tf(t)dt关于010yf(x)dx,(y0)的连续性，f(x)是[0,1]上连续且为正的函数。22xy2、讨论0edx(0)的一致收敛性。

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