湖南师范大学附属中学高一数学 续二倍角公式的应用,推导万能公式教案_高一数学二倍角公式

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湖南师范大学附属中学高一数学教案：续二倍角公式的应用，推导万能公式

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式

目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。过程：

一、解答本章开头的问题：（课本 P3）

令AOB =  , 则AB = acos OA = asin

∴S = a2sin2≤a

2矩形ABCD= acos×2asin 当且仅当 sin2 = 1，即2 = 90， = 45时, 等号成立。

此时，A,B两点与O点的距离都是

22a

二、半角公式

在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例

一、求证：sin21cos1cos1cos22,cos222,tan221cos 证：1在 cos212sin2 中，以代2，2代 即得：

cos12sin221cos2 ∴sin22 2在 cos22cos21 中，以代2，2代 即得：

cos2cos21cos21 ∴cos222 3以上结果相除得：tan21cos21cos

注意：1左边是平方形式，只要知道2角终边所在象限，就可以开平方。

2公式的“本质”是用角的余弦表示2角的正弦、余弦、正切

3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆）sin1cos1cos22,cos21cos2,tan21cos 4还有一个有用的公式：tansin1cos21cossin（课后自己证）

三、万能公式

2tan1tan2例

二、求证：sin2,cos22tan1tan21,tan2tan221tan2 22 1

cos2tan2sin 证：1sinsin2212 sin2cos221tan222cos2 2cos2sin221tan2cos1sin2cos221tan2 222 3tansin2sincos2cos22tancos22 2sin221tan22 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）

2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切

即：f(tan2)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小

例

三、已知2sincossin3cos5，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

解：∵2sincossin3cos5 ∴cos   0(否则 2 =  5)∴2tan1tan35 解之得：tan  = 2 ∴原式3(1tan2)1tan242tan3(122)42271tan21221225

四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）

五、作业：《精编》P73 16

补充：

1．已知sin + sin = 1，cos + cos = 0，试求cos2 + cos2的值。(1)（《教学与测试》P115 例二）

2．已知2，0，tan =13，tan =17，求2 +  的大小。(34)

3．已知sinx =43555，且x是锐角，求sinx2cosx2的值。(5,5)4．下列函数何时取得最值？最值是多少？

11,ymin)2231 2y2sinxcos2x(ymax,ymin)

2223 3ycos(2x)2cos(x)(ymax3,ymin)

7725．若、、为锐角，求证： +  +  = 1ysin2xcos2x(ymax6．求函数f(x)cosxsinx在[212),]上的最小值。(4423

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