两角和差正余弦公式的证明_两角差的余弦公式证明

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两角和差正余弦公式的证明

北京四中数学组 皇甫力超

论文摘要：

本文对两角和差的正余弦公式的推导进行了探讨。在单位圆的框架下 , 我们得到了和角余弦公式(方法 1)与差角余弦公式(方法 2)。在三角形的框架下 , 我们得到了和角正弦公式(方法 3 ~11)与差角正弦公式(方法 12,13)。

关键词：

两角和差的正余弦公式 正文：

两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。

由角 , 的三角函数值表示的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或

与 , 的三角函数联系起来。的三角函数。因此 , 由和角公式容根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到

易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为, 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余的公式将很容易得到。

(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示,和, 而且角的终边与单位圆的交点坐标可

与, 的三以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 角函数值的等式。

1.和角余弦公式

(方法 1)如图所示, 在直角坐标系 角 的始边为 于点 C；角 , 交 始边为 ,由两点间距离公式得；

于点 A, 终边交 , 终边交

中作单位圆, 并作角, 和, 使

于点 B；角 始边为 , 终边交,于点。从而点 A, B, C和 D的坐标分别为,。

注意到 , 因此。

注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 , 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。

2.差角余弦公式

仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是

(方法2)如图所示, 在坐标系 的始边均为 , 交

于点 C, 角,中作单位圆 终边交。, 并作角 和 , 使角 和

于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B的坐标为由两点间距离公式得。

由余弦定理得。

从而有。

注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 情形中依然成立。

在上边的证明中 , 用余弦定理计算

是三角形的内角。因此, 还需

大于 的情形。容易验证 , 公式在以上的过程也可以用勾股定理来进行。

(二)在三角形的框架下推导和差角正弦公式

除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。

1.和角正弦公式(一)

(方法3)如图所示, , ,为的边上的高 ,为

边上的高。设, 则。从而有 , 。

因此 ,。

注意到 从而有， 整理可得。

注记：在方法 3 中 , 用 边上高

和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示, 从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。

利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的(方法 4)如图所示, ， 则

为的。

边上的高 ,为

边上的高。设

注意到 , 则有,即。从而有。

利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。

(方法 5)如图所示 , 则有

为的边上的高。设，,。由正弦定理可得, 其中 d为 的外接圆直径。

由 得, 从而有。

2.和角正弦公式(二)方法 3,4 和 5 利用的图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法(方法 6~11)。

(方法 6)如图所示 , 作， 则

于D, 交 ，外接圆于 E, 连。

和

。设设 的外接,圆直径,为 d, 则有,。

所以有。

注意到 , 从而。

(方法 7)如图所示 , ， 则

为的边上的高 ， 则

为

边上的高。设

。设, , ,。, 又

从而。整理可得。

(方法 8)如图所示 , 作 设 。

于D, 过 D作 , 则,于 F, ,设

于G。, 从而,所以。

注意到 , 则有。

注记：我们用两种不同的方法计算 法来计算, 得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方, 则可以得到和角的余弦公式。由上图可得， 从而有而可得。

。注意到 , 从方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。

(方法 9)如图所示 , 设，为的边上的高。设， 从而有

方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。

(方法 10)如图所示 , 设, 则

为 , 从而的外接圆直径d, 长度为d。设,注记：这一证明用到了托勒密定理：若 和。

是圆内接四边形的对角线 , 则有

(方法 11)如图所示 , 则。设

为 , 则的边上的高。设，方法 10 和 11 将某一线段作为基本量 , 利用与角,相关的三角函数表示其它线段 , 再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理), 构造出我们希望的等式关系。

3.差角正弦公式

仍然还是在三角形中 , 我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法 12 和 13 便是用这种想法来证明的。

(方法 12)如图所示 ,于 E, 则,。设 ， 从而有, 记 , 作

(方法 13)如图所示 , , 则,为的外接圆直径 , 长度为 d。设。从而,方法 12 和 13 的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段 , 借此来构造等式关系。

很显然 , 在这十二种证法中 , 方法 1 和 2 更具普遍性。换言之 , 这两种方法中出现的角 , 是任意角。而其余方法中 , 角 和 则有一定的限制 , 它们都是三角形的内角(甚至都是锐角)。因此 , 对于方法 3~13, 我们需要将我们的结果推广到角 和

是任意角的情形。具体而言 , 我们要证明：如果公式对任意 任意角也成立。

容易验证 , 角 和

成立 , 则对

中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角), 我们的公式是成立的。下面证明 , 角 和 都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时 , 我们的公式也成立。不妨设 为第二象限角 , 为第三象限角 , 从而有

从而

同理可证, 公式对于象限角 3~13 推导的公式推广到角

和 的其它组合方式都成立。因此 , 我们可以将方法, 是任意角的情形。

两角和差的正余弦公式是三角学中很基本的一组公式。其推导证明对指导学生进行探究性学习很有帮助。从上文中可以看到 , 这一探究过程可分为四个步骤：

(1)明确推导证明的目标：构造联系 和 等式或方程 ；

(2)简化课题：四个公式只要解决一个 , 其余的都可由它推出 ；(3)解决问题：利用单位圆或三角形作为联系

和

三角函数与

或

三角函数与

或的的工具 , 寻找我们希望的等式关系 ；

(4)完善解决问题的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 , 可考虑将其化归为已解决的情形 , 必要时还要进行分类讨论。

参考文献：

1.谷丹：全面数学教育观与知识形成过程的教学——三个教学个案及分析 , 《开放的视野 , 务实的努力》, 中央民族大学出版社 ,2006 年 3 月第 27 ~32 页。

2.人民教育出版社中学数学室：全日制普通高级中学教科书 >(必修), 人民教育出版社 ,2003 年 12 月第 34 ~ 35 页。