高观点下的两角和与差的正余弦公式教学设计_两角和差公式教学设计
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高观点下的两角和与差的正、余弦公式教学设计
438600 湖北省罗田县第一中学 陈清华
1.设计背景
三角函数和三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,三角函数是刻画周期现象的一种非常重要的初等函数模型，其中三角恒等变换在发展学生的推理能力和运算能力方面具有重要的教育价值.向量是近代数学中的基本概念之一，它既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通
[1]代数、几何与三角函数的一种工具.人教A版必修4教材在编排上，在三角函数和三角恒等变换两章之间刻意安排了平面向量的内容，充分体现了将近代数学中的的一个重要的模型——向量，作为一种工具在三角恒等变换中加以应用，这很符合《高中数学课程课标》（以下简称标准）的数学模型化理念，体现了数学模型观，着力于渗透数学建模的思想.数学是一种文化，数学的发展过程是一部人类探索数学的光辉历史。《标准》中提倡：在教学过程中融入丰富的数学史知识，寻求数学进步的历史轨迹，领会数学的美学价值，提高学生的文化素养.三角学的历史源远流长，起源于天文观测和历法推算，三角函数源于几何问题，它是几何问题代数化的典例。在教学过程中，如果融入三角学的历史知识，通过查阅文献资料，引领学生了解三角函数的发生发展历程，并融入现代化的向量工具，引导学生进行探究性学习，使学生在探究活动中不仅知其“源”，而且知其所原。
2.教学流程 三维目标 知识与技能
初步了解三角学的历史渊源，感知三角函数的发展历程，体会数学文化的内涵. 从几何直观上初步理解两角差的余弦公式,并初步体会向量数量积在推导两角超的余弦公式中的工具性作用.过程与方法
查阅数学史资料，认识帕普斯“弦图”并探索其中蕴含的数学奥秘. 观察“弦图”发现并构建“单位圆”，尝试在“单位圆”上探究两角差的余弦之间的关系. 借助几何直观化“单位圆”和向量的工具，尝试类比推导两角和与差的三角函数公式.情感、态度与价值观
1.感受数学文化，初步体会数学史的丰富内涵，体会向量将几何直观转化为代数运算的工具作用.2.通过变式探究活动，经历类比推理过程，体会从一般到特殊的数学思想在数学中的应用. 教学重难点
重点：探究两角差的余弦之间的关系，并利用单位圆和向量推导两角差的余弦公式. 难点：类比推导两角和与差的三角函数公式 教学流程 3.教学过程
3.1回溯三角学的历史，追本溯源认识三角变换
角学起源于航海、历法推理、和天文测量研究，最初主要是研究球面三角，由于间接测量、测绘工作的需要出现了平面三角学理论。设计1：认识“弦图”：从平面几何中发现两角差的正、余弦关系
公元3世纪末，亚历山大的数学家帕普斯（Pappus）在其《数学汇编》第5卷第4部分中给出这样一个命题：如图1，设.和[2]
是以为
为直径的半圆上的一点，的垂线，为垂足.则
是半圆在点处的切线，图1 图2 证明：由于命题等价于又只需证：是梯形的中位线，所以,即
.显然有，试用,所以,试用线段（比）分别表示
.中，中，中，与
知，且
知，故；，;
;的关系.;表示
.得证....,又因为,所以原问题1：如图1所示，设解析：由知:问题2：如图2所示,不妨设以及解析：在在在，问题3：结合问题2的结论，试探究解析：由又在又由中，且
且所以问题4：结合问题3类似地，试探究解析：如图2可知，又因为又在中，且
且
与
知，故的关系
所以
古埃及天文学家克罗狄斯·托勒密利用两角和差的三角关系绘制了现存最早的三角函数弦表，在天文学和测量计算中有很重要的应用.制作弦表的原理如以下“弦图”所示：
设计意图：根据苏和姆林斯基的“最近发展区”理论，寻找符合学生认知的切入点，以一个古老的平面几何命题为依托，引导学生从简洁的几何图形中发现其所蕴含的三角知识，给学生一个意外的“惊喜”，激发学生继续深入探究的兴趣。其实命题的本身并不难用三角形相似得以证明，学生很容易用初中所学的三角形相似得出结论，然而这个命题中所蕴含的三角函数线的内涵却需要我们细细品味.评注：从学生所熟悉的平面几何证明过程中重温旧知，从已认知的图式中发现新的图式，打破了学生原有的认知平衡，如一石激起千层浪般激发学生的思维，通过层层设问进行合理建构，引导学生领略新的知识的发生和发展过程，体验从平面几何图形中发现三角变换的奥秘，平中见奇.设计2：发现并构建“单位圆”：由三角形的内角通往任意角的桥梁
问题5：我们发现上述的弦图只能表示范围内的两角差的三角函数关系，结合任意角以及任意角的三角函数的定义，教材上是用旋转的方式产生任意角的终边，并利用单位圆定义任意角的三角函数的，如何将三角形内角向任意角推广，我们自然就会想到能否合理构建单位圆，运用单位圆周上点的任意旋转得到任意角，在上述探究过程中其实我们已经构建出了单位圆，你能发现它吗？ 解析：引导学生发现“弦图”蕴含的“单位圆”，为了方便运算，同时引导学生运用“坐标化”的思想，建立适当的坐标系如图3所示,为任意角的两角和与差的三角公式的推导架设桥梁，铺平道路.图3 图4 设计意图：根据现代心理学理论，认知冲突中学习过程中起着很重要的作用，教师在教学过程中应该结合学生的实际巧妙地设置认知冲突，激发学生的思维，让学生萌生探明究竟的冲动和渴望，形成学习的内驱力，促进创造性思维的发展.评注：在人教A版必修4第3.1.1节的教材中提到：“由于这里涉及的三角函数的问题，是的余弦问题，所以可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识.” 并且给出了如图4所示的图形对锐角的两角差的余弦公式进行了简单推导.推导的过程和设计1的推导过程类似，然而图4的直接给出却显得有些突兀，有些学生对于为什么构建这样的图形感觉无法理解，教材没有给学生的认知搭建帮助理解的“脚手架”，那么作为课堂的主导者的教师就应该为学生的认知搭建符合学生认知最近反展区的“脚手架”.在教学过程中，如果教师能够结合数学史的知识，追寻三角知识的发展历程，站在三角知识的产生的源头的高度上对教材进行适当的处理，构建符合学生认知图式和适应学生心理的数学情境，适度地重现知识的发生和发展的过程，让学生在探究活动中发现数学，体验殊途同归的奥妙，让数学的学习真正做到返璞归真,更加自然，往往会起到触动心弦的效果。
3.2 融入近代数学元素——向量，助推任意两角差的余弦公式
设计3：引进向量工具：让三角变换在代数运算中精彩演绎 问题6：任意角的三角函数是在单位圆上定义，对于任意的两个角上表示？
分为两种情况:
和
来考虑，如图5和6.，如何在单位圆解析：对于任意的两个角
图5
图6 问题7：如图5所示，在单位圆中？
解析：由，以及根据向量的数量积
知：，如何运用向量方法表示，即
设计意图：向量是近代数学中重要的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具，体现数形结合的思想.问题6是为了渗透了分类讨论和数形结合的数学思想方法，引导学生合理构建任意两角的差，问题7结合向量的数量积运算和坐标化的思想，实现三角变换在代数运算中的精彩演绎,体现向量的工具性和模型化.例1 利用差角余弦公式求的值
解析：由变式1 试求的值.或易得：
例2 已知是第三象限角，求的值
设计意图：根据桑代克的练习律理论，对新知进行强化和迁移应用，可以增进学生对新知的认知和理解，巩固新形成的图式,体验只要知道的值就可以求的值的过程.设计4：对称与变换：类比推导问题8：对于任意的两个角？
解析：如图7所示，作地可以得出：的终边关于轴对称可得的终边，类似
公式，如何在单位圆上表示
？试用向量方法表示
图7，设计意图：通过对称变换在单位圆上构造，并引导学生运用向量方法推导出进一步地巩固向量推导两角差的余弦公式的过程.问题9：结合三角函数的诱导公式，能否用推导出？
解析：由
知：
用替换易得：
评注：运用以前所学的三角函数的诱导公式，引导学生进行正弦和余弦之间的互换，体验换元的思想方法在三角变换中的重要作用.4.小结反思
角差的余弦公式是所有三角变换的基础，有的教材上是用向量来处理的，这与传统教材的处理法大不一样，究竟哪种编排法更好，更符合学生的认知？向量法的实质是说这两个公式事实上是描述圆上的任意角的旋转变换。这样更加形式化了。新数学运动有过失败的经验，现代的、形式化的东西在数学科学的确很先进，但并不一定是适合学生的。作为教育，一方面要让学生领会数学思想的原初发生发展过程，另一方面又要引导学生能从各个方面欣赏已经得到的数学结果，提高认识能力。两角差的正弦、余弦公式既反映了三角的重要发展，又反映了三角变换的深刻本质，但是否要用本质的、深刻的东西取代最初本原的思想，对教师的教学观念，评鉴课程的能力提出了高的要求。
考文献
[1] 全日制普通高中数学新课程标准(实验).(2004).[2] 张小明,汪小勤.两角和差的三角公式推导——数学史融入数学教学的实例研究.数学教学，2007.02
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