构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式（推荐）_分式不等式的难题证明

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构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

设f(x)在上连续，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(两个积分都是在0-1上的积分)，求证存在一点X∈使∣f(x)∣>4

反证法

证明：

∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1

∴∫f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1

设在上处处有|f(x)|

则∫f(x)dx

=4*{∫dx+∫dx}(积分区间分别为和)

=4*{-(1/2)+(1/2)

=4*(1/2)(1/4+1/4)

=1

即∫f(x)dx

设在上处处有|f(x)|=4

∵f(x)在上连续

∴f(x)在上恒等于4

或f(x)在上恒等于-4

显然与∫f(x)dx=0矛盾

故以上两个假设均不成立。

∴必存在一点X∈使∣f(x)∣>4

原不等式等价于

ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)

由于b>a>0，令b/a=x，x>1

不等式化为lnx>2(x-1)/(x+1)

即lnx>2-4/(x+1)

建立辅助函数f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1

f'=1/x-4/(x+1)^2=/

=(x-1)^2/>0

所以f(x)在/，当x>a时，总有f'(x)>0，所以f(x)在/4。因为f(x)单调递增，易知F(x)也是单调递增的。则容易得到F(a)

f(x)在上单调递减，证明当x属于(0,1)时，x*

这个题目有问题，你所说的这种情况还要保证f(x)的2阶导数小于0!你可以把X移过去这样两边就是斜率的表达式，可以作图观察，在图是凹的情况下不成立，在凸的情况下成立!在凸的情况下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X然后对GX求导通过GX的单调性证明。

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