高等数学证明中辅助函数的构造_高等数学函数构造

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高等数学证明中辅助函数的构造

王春珊 张绍兰

（安徽工商职业学院，安徽 合肥 230041）

摘要：本文系统归纳了高等数学证明中常见四种辅助函数的构造，每种类型用实例加以介绍说明，对学习高等数学的证明有一定的指导作用.关键词：辅助函数；原函数；求导法则；不等式

在高等数学许多问题的证明中需要构造辅助函数，但如何构造辅助函数是学生在学习高等数学中的难点之一，现将高数学证明中的构造相关辅助函数常使用的方法构造如下.一、不等式证明中辅助函数的构造

1.关于f(x)g(x),x(a,b)型不等式的证明.一般情况下可考虑构造辅助函数F(x)f(x)g(x),x(a,b)，然后确定F(x)的比较点（F(a)或F(b)），并利用F(x)的单调性加以证明.例1 证明 sin2xx212242，x(0,2).14x2sin2xlimF(x)limF(x)1证明 设F(x)sinxx2，则，.x03x2xsin2x

2故可补充定义F(0)14,F()12，使F(x)在[0,]上连续，由此可知，只要证明322

F(x)在[0,]上单调递增即可.2

1cosx)，为确定F(x)的符号，再设因为F(x)2(3xsin3x

G(x)x,x(0,)，且G(0)0.22

3471243则G(x)(cosx)sinx(cosx)31，G(x)sinx(cosx)30,x(0,).392

故G(x)在(0,)上为单调递增且G(0)0，因此，在区间(0,)中，G(x)G(0)0，22

1cosx0，这就从面G(x)在(0,)上也是单调递增的，所以G(x)G(0)0，即33xsinx2

4证明了F(x)在(0,)上是单调递增的，即F(x)F()12，命题得证.22

对于f(x)g(x),x(a,b)型不等式，在某些情况下，也可通过适当变形化为对某一辅助函数单调性的讨论，从而加以证明.11

例2 设x0,y0且0，证明(xy)(xy).

分析：由于0，故所证不等式似乎是x,y关于,的单调函数，但由于x,y是两个变量，如果能转化为一个变量的问题就容易了.根据所证不等式结构及y0的情况，所证不等式等价于不等式

xx

[()1][()1]

yy

xz

设t，则原不等式转化为函数(z)(t1)z，0z的单调性的讨论.y

证明 根据上述分析，构造辅助函数(z)(t1)，则(t)

z

z

(t)t()ztzz1tz

t0,z0，由于，所以z1tz(t)(1t)2z

z(1t)(1t)

z

ztz

1(t)(tz)tzz

故(t)2＜0，所以(z)(t在(0,)上单调递减，而lnzz1tz

z(1t)(1t)

0z，所以()()，即命题成立.2.关于c1f(x)c2,x(a,b)型不等式证明.常用的简便方法是考虑f(x)在(a,b)上是取大值、最小值来证明.例3 证明不等式

2p

1xp(1x)p10x1,p1.pp

证明 设F(x)x(1x)，0x1,p1.由于F(x)在[0,1]上连续，故在区间

[0,1]上一定有最大值和最小值.F(x)p[x因为 F(0)1,p1

(1x)p1]，令F(x)0，则x

（驻点）.2

F(1)1,F()p1，所以在[0,1]上

2211

Fmax(x)1,Fmin(x)p1，故p1xp(1x)p1.22

3.含有定积分的不等式.一般情况下常把定积分的上限选为所构造辅助函数的自变量.例4 设ab,f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，证明

(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dx

a

a

a

b

b

b

证明设F(t)



t

a

f(x)dxg(x)dx(f(x)g(x)dx)2且atb，则

a

a

t

t

t

a

a

a

t

t

F(t)f2(t)g2(x)dxg2(t)f2(x)dx2f(t)g(t)f(x)g(x)dx





t

a

[f(t)g(x)f(x)g(t)]2dx0

所以F(x)在[a,b]上为增函数，故F(b)F(a)0，即命题得证.二、应用求导法则构造辅助函数

这里主要应用幂函数、对数函数、函数乘积求导时出现的特殊情况构造辅助函数.例如 设f(x),g(x)均可导，则

[f(x)eg(x)][f(x)f(x)g(x)]eg(x)，[lnf(x)]

[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x).因此当所证结果中出现f(x)f(x)g(x)，f(x)，f(x)

f(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)等形式f(x)

时，可构造形如f(x)eg(x)，lnf(x)或f(x)g(x)等形式的函数.例5 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(x1)f(x2)0，x1,x2(a,b)，(x1x2).证明 在(x1,x2)内至少存在一点，使得f()f()g()0.证明 设F(x)f(x)eF(x1)f(x1)e

g(x1)

g(x)，则由f(x1)f(x2)0知

f(x2)eg(x2)F(x2)0

g(x)

故由已知条件知，F(x)f(x)e

在(x1,x2)上满足罗尔中值定理，即在(x1,x2)内至少存

g()

在一点使得F()0，即F()[f()f()g()]e0，所以

f()f()g()0.三、方程根的存在性证明中辅助函数的构造

通过下面例子说明其方法.例6 讨论方程axlnx（a0）有几个实根.分析：设f(x)axlnx，x(0,)，则如果f(x)的最小值在x轴上方，曲线

yf(x)与x轴无交点，方程无实根；如果f(x)的最小值在x轴上，曲线yf(x)与x轴

只有一个交点，方程只有一个实根；如果f(x)的最小值在x轴下方，讨论函数

f(x)axlnx的单调区间等性质判断曲线yf(x)与x轴的交点数，从而求得方程实根的个数.解 设f(x)axlnx，x(0,)，则

111，令f(x)a0 得 x.xxa1

1因为当 0x时，f(x)a0；

ax11

当 x时，f(x)a0.ax11

所以f(x)在x时取得最小值mf()1lna.aa1

当m0时，即a，曲线yf(x)与x轴无交点，方程无实根；

e1

当m0时，即a，曲线yf(x)与x轴只有一个交点，方程只有一个实根；

e111

当m0时，即0a时，因为当0x时，f(x)a0，f(x)单调递减，eax

当 x时，f(x)a0，f(x)单调递增.所以曲线yf(x)与x轴有两个交点，ax

f(x)a

即方程有两个实根.四、应用原函数构造辅助函数

现结合实例说明这种方法.例7（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)上可导.f(b)f(a)

.ba

f(b)f(a)

0.这时注意到分析：即要在(a,b)中至少存在一点使得f()

ba

f(b)f(a)f(b)f(a)

x，故所证f()为f(x)在点的函数值，而的一个原函数为

baba

f(b)f(a)

x的导函数在(a,b)内至少有一个零点.根据本定理的条件及罗等式为f(x)

ba

f(b)f(a)

x满足罗尔定理条件即可证明尔定理自然想到，只须验证函数F(x)f(x)

ba

则在(a,b)中至少存在一点使得f()

本定理的结论，当然辅助函数也就构造出来了.证明略.例8 证明若非线性函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则必有(a,b)，使

得f()

f(b)f(a)

.ba

f(b)f(a)

x的导函数在(a,b)内某一点

baf(b)f(a)

x.但是为了使构造的辅助函上值的大小问题，因此可构造辅助函数f(x)

ba

分析：所要证不等式显然是比较函数f(x)与

数具有更好的性质，如除要辅助函数连续、可导外，还要其在区间两端点上的函数值相等且等于0，故构造辅助函数：

F(x)f(x)f(a)

f(b)f(a)

(xa).ba

证明 因为F(a)F(b)0，又由于f(x)非线性，故F(x)不恒为0，因此必有

x0(a,b)使得F(x0)0，不妨设F(x0)0，对于F(x)在[a,x0],[x0,b]上分别应用拉格

朗日定理有

F(1)

F(x0)F(a)F(x0)

0,a1x0.x0ax0a

F(2)

F(b)F(x0)F(x0)

0,x02b.bx0bx0

f(b)f(a)

0

baf(b)f(a)

0F(2)f(2)

ba

f(b)f(a)

f(1)所以f(2)

ba

故F(1)f(1)这即为

f(b)f(a)

max{f(1),f(2

ba

f(b)f(a)

.ba

记f()f(1),f(2，则f()

参考文献：

［1］ 华东师范大学数学系编.数学分析，高等教育出版社，1987

Advanced mathematics to prove the structure of auxiliary function

Wang chun shanzhang shao lan

(Anhui busine vocational college Anhui Hefei 230041)

Key words :Auxiliary function，The original function，Derivation rules，Inequality Abstract:

作者简介：王春珊，男，1969.11安徽工商职业学院副教授

张绍兰，女，安徽工商职业学院副教授 通讯地址：合肥市砀山路233号安徽工商职业学院 电子邮箱：chunshan2000@163.com 电话：***

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