空间向量基本定理_空间向量的基本定理

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空间向量的基本定理

姚旺河

一、教学目标:

1、知识与技能: 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。

2、过程与方法: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

3、情感态度与价值观: 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，培养学生的探索精神。

二、教学重点和难点

重点：共线、共面定理及其应用;空间向量的基本定理及其推论

难点：空间向量分解定理唯一性的理解

三、教学方法：根据本节课的特点，尝试运用“问题探究式”教学法，遵循“探索—研究—运用”即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，教师“诱”在点上，学生动脑思，动手探。

四、教学手段：多媒体辅助教学

五、教学设计

1．共线（平行）向量的定义：

2．空间任意两个向量a,b(b0),a//b的条件:

3．平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a，有且只有一对实数1,2，使a；

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是



1．向量与平面平行：（大约5分钟）

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

2

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使

pxayb．

：练习A1、2、3、4'''

例1 已知斜三棱柱ABCABC，设，，AA。在面'

对角线AC上和棱BC上分别取点M和N，使AMkAC,BNkBC

'C'

'

（0k1）。求证与向量和共面。

用和的线性表示就可证明共面。

'''''

例2已知平行六面体ABCDABCD,设,,AA,''''

试用基底{a,b,c}表示如下向量：AC,BD,CA,DB

C'

学生先自主做，教师引导点出空间内的任意向量都可用三个不共面的向量表示，从而引出空间向量基本定理。

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量



p，存在一个唯一的有序实数组(x,y,z)，使xy证明：（存在性）设，不共面，过点O作OAa,OBb,OCc,OPp

过点P作直线PP平行于OC，交平面OAB于点P；

在平面OAB内，过点P作直线PA//OB,PB//OA，分别与直线OA,OB相交于点

A,B，于是，存在三个实数x,y,z，使

OA/OAxa,OB/OByb,OC/OCzc



∴OPOAOBOCxOAyOBzOC，所以 xyz

（唯一性）假设还存在x,y,z使px/e1y/e2z/e3 ∴xe1ye2ze3x/e1y/e2z/e3 ∴(xx/)e1(yy/)e2(zz/)e3

yy/zz/不妨设xx即xx0∴e1e2e

3xx/xx/

∴e1,e2,e3共面此与已知矛盾∴该表达式唯一

由此定理，若三向量，不共面，那么空间的任一向量都可由，线性表示，我们把{，}叫做空间的一个基底，，叫做基向量。

②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．

例3 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC



的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG



解：OGOMMG

C

A

B

2OMMN

21

OA(ONOM)23

2111

OA[(OBOC)OA]232

2111

OA(OBOC)OA233

111

OAOBOC633

∴OG

1OAOBOC

633

1．知识：共线向量定理和共面向量定理； 2．题型与方法：

3．数学思想方法：类比,数形结合,等价转化 4．注意问题：



1．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

2．已知ai2jk,bi3j2k,c3i7j，证明这三向量共面。

七、布置作业

1．已知三个向量a,b,c不共面，并且pabc，q2a3b5c

71822，向量，是否共面？

1．（选做）对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式



OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

2．（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件

122，OPOAOO C

555

试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

空间向量的基本定理

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