法向量_法向量公式

法向量由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“法向量公式”。

法向量在空间问题中的应用

桐乡市求是实验中学聂美芬

在解决空间问题时若能结合法向量的有关知识，灵活运用法向量解题，则可避免添加辅助线，通过建立空间直角坐标系将几何问题代数化，降低解题难度，且思路明确，过程较为程序化，容易把握。下面举例说说法向量在空间问题中的应用。

1、利用法向量证明线面平行、面面平行。

证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行。例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：

（1）FC1//平面ADE

（2）平面ADE//平面B1C1F

证明：如图1所示建立空间直角坐标

系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以FC1(0,2,1)、DA(2,0,0)、AE(0,2,1)设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)

分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则nDA，nAE

x0n12x0取y=1，则n1(0,1,2)z2yn12yz0

同理可求n2(0,1,2)

（1）n1FC1(0,1,2)(0,2,1)0

n1FC1，又FC1平面ADE，FC1//平面ADE

（2）n1//n2∴平面ADE//平面B1C1F2、利用法向量证明线面垂直、面面垂直。

证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直。

例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点。求证：（1）D1F⊥平面ADE

（2）平面A1D1F平面ADE

证明：（1）如图2所求建立空间直角坐标系D-xyz，令AA1=2，则D（0，0，0）、D1（0，0，2）、A（2，0，0）、E（2，2，1）、F（0，1，0），所以DA=（2，0，0），AE=（0，2，1），D1F=（0，1，-2），设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)分别

是平面ADE、平面A1D1F的法向量。则F n1DA，n1AE。

x10n12x10 z2y1n12y1z0

1取y11，则n1(0,1,2)，同理可得：n2(0,2,1)

（1）n1//D1F∴D1F⊥平面ADE

（2）n1n2（0，1，-2）（0，2，1）=0n1n

2∴平面A1D1F⊥平面ADE3、利用法向量求线面夹用、面面夹角

要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该

平面的法向量所成角（锐角）互余或和

斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；

求平面与平面所成的二面角，即求两平

面的法向量所夹的角（它与面面夹角相

等或互补）。

例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D

1中的棱长为2，（1）求直线AD与平面A1BC1所成C的角。

（2）求平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角（锐角）的大小。角：如图3所示建立空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0）、A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、C1（0，2，2），所以A1B=（0，2，-2），BC1=（-2，0，2），AD=（-2，0，0），设n1(x1,y1,z1)，n2(x2,y2,z2)分别是平面ABC1和平面A1B1C1D1的法向量，则n1A1，n1BC

1yzn1A12y2z0取z=1，则n1(1,1,1)xzn1BC12x2z0

同理可得：n2(0,0,1)

（1）设直线AD与平面A1BC1所成的角为，则：

sincosAD,n1=2233

3arcsin 3

（2）cosn1,n23 3=1313 3n1,n2即平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角为。34、利用法向量求距离

利用法向量可求点面距离、线面距离、面面距离、两异面直线间的距离。求点到平面的距离，即求过该点的某一斜线的长和斜线与该平面的法向量的夹角的余弦的绝对值的乘积；求直线到与它平行平面的距离和求两个平行平面的距离均可转化为点到平面的距离来求；求两异面直线间的距离，可先求得两直线的公共法向量，然后在两直线上各取一点，求出过这两点的向量在法向量上的射影长就是两异面直线间的距离。

例4 在例3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）求点B1到平面A1BC1的距离。

（2）求A1B与B1C之间的距离。

解，（1）由例3知n（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量，设点B1到平面A1BC1的距离为d，则：

d

B1B,n =2(0,0,2)(1,1,1)

2323

323 3即点B1到平面A1BC1的距离为

（2）A1(0,2,2)、B1(2,0,2)、A1B1(0,2,0)设(x,y,z)，且A1,B1 yzA12y2z0令x=1，则(1,1,1)zxnB1C2x2z0

设A1B与D1C1间的距离为d，则：

dcosA1B1

22 3

向量法证明不等式

向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上......

用向量法证明

用向量法证明步骤1记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0接着得到......

向量法证明正弦定理

向量法证明正弦定理证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角......

余弦定理的证明 向量法

∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) （以上粗体字符表示向量） 又......

用向量法证明平行关系

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：课题: 3.2.1用向量法证明平行关系编制人：刘本松、张文武、王伟洁审核人：领导签字： 【使用说明......